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Pour cela j’observe qu’à cause de

$pr+q^{2}=a,$

la quantité $\mathrm {P}$ peut se mettre sous cette forme

$\mathrm {P} =p\left(\mathrm {M} +{\frac {q+{\sqrt {a}}}{p}}m\right)\left(\mathrm {M} +{\frac {q-{\sqrt {a}}}{p}}m\right),$

et la quantité $\mathrm {R}$ sous celle-ci

$\mathrm {R} =-p\left(\mathrm {N} +{\frac {q+{\sqrt {a}}}{p}}n\right)\left(\mathrm {N} +{\frac {q-{\sqrt {a}}}{p}}n\right).$

Or, comme ${\sqrt {a}}$ est $>q,$ il est clair que la quantité $q+{\sqrt {a}}$ sera toujours positive, et la quantité $q-{\sqrt {a}}$ toujours négative ; de sorte que les deux quantités

${\frac {q+{\sqrt {a}}}{p}},\quad {\frac {q-{\sqrt {a}}}{p}}$

seront nécessairement de signes différents. Nommant donc $\alpha$ celle de ces deux quantités qui sera positive, et $-\beta$ celle qui sera négative ($\alpha$ et $\beta$ dénotant des nombres positifs), on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&p(\mathrm {M} +\alpha m)(\mathrm {M} -\beta m),\\\mathrm {R} =&-p(\mathrm {N} +\alpha n)(\mathrm {N} -\beta n).\end{aligned}}$

D’où l’on voit que, pour que les nombres $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ soient de mêmes signes, il faut que les facteurs $\mathrm {M} -\beta m$ et $\mathrm {N} -\beta n$ soient de signes différents, parce que les facteurs $\mathrm {M} +\alpha m$ et $\mathrm {N} +\alpha n$ sont tous les deux positifs.

Cela posé, soit $\mathrm {M>N} ,$ on pourra faire

$\mathrm {M=\mu N+M'} ,$

et prendre pour $\mu$ un nombre entier positif tel, que $\mathrm {M} '$ soit aussi positif et moindre que $\mathrm {N} \,;$ car pour cela il n’y aura qu’à diviser $\mathrm {M}$ par $\mathrm {N} ,$ et faire le quotient égal à $\mu$ et le reste égal à $\mathrm {M} '.$ Qu’on fasse de même

$m=\mu n+m',$