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$m'$ étant un nombre quelconque, et substituant ces valeurs dans l’équation

$\mathrm {M} n-\mathrm {N} m=\pm 1,$

on aura celle-ci

$\mathrm {M} 'n-\mathrm {N} m'=\pm 1,$

d’où l’on voit qu’à cause de $\mathrm {M',N}$ et $n$ positifs, il faudra que $m'$ soit aussi un nombre positif.

Or les valeurs de $y$ et de $z$ deviendront par ces mêmes substitutions

$y=(\mu s+x)\mathrm {N+M'} s,\quad z=(\mu s+x)n+m's,$

ou bien, en faisant comme plus haut $x'=\mu s+x,$

$y=\mathrm {M} 's+\mathrm {N} x',\quad z=m's+nx',$

et, ces valeurs étant substituées dans la formule

$py^{2}+2qyz-rz^{2},$

on aura la transformée

$\mathrm {P} 's^{2}+2\mathrm {Q} 'sx'-\mathrm {R} x'^{2},$

où

${\begin{aligned}\mathrm {P} '=&p\mathrm {M} '^{2}+2q\mathrm {M} 'm'-rm'^{2},\\\mathrm {Q} '=&p\mathrm {M'N} +q(\mathrm {M} 'n+\mathrm {N} m')-rm'n,\\\mathrm {R} \ =&rn^{2}-2q\mathrm {N} n-p\mathrm {N} ^{2}.\end{aligned}}$

Et je dis que les nombres $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {R}$ seront nécessairement de mêmes signes ; car on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} '=&p(\mathrm {M} '+\alpha m')(\mathrm {M} '-\beta m'),\\\mathrm {R} \ =&-p(\mathrm {N} +\alpha n)(\mathrm {N} -\beta n)\,;\end{aligned}}$

or

$\mathrm {\mathrm {M} } -\beta m=\mu (\mathrm {\mathrm {N} } -\beta n)+\mathrm {\mathrm {M} } '-\beta m'\,;$

donc, comme $\mu$ est un nombre positif et que $\mathrm {M} -\beta m$ et $\mathrm {N} -\beta n$ sont de signes différents, il faudra, pour que cette équation puisse subsister, que les quantités $\mathrm {M} -\beta m$ et $\mathrm {M} '-\beta m'$ soient de mêmes signes, et par conséquent que $\mathrm {N} -\beta n$ et $\mathrm {M} '-\beta m'$ soient de signes différents ; mais $\mathrm {N} +\alpha n$ et $\mathrm {M} '-\beta m'$ sont des quantités positives, $\mathrm {N} ,n,\mathrm {M} ',m'$ et $\alpha$ étant