des nombres positifs ; donc les deux nombres
et
seront nécessairement de même signe.
De même, puisque
on pourra supposer
![{\displaystyle \mathrm {N=\mu 'M'+N'} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ce36d2989f8e099e091273c557c6960bdee568)
et prendre
positif et tel, que
soit aussi positif et moindre que
et faisant
![{\displaystyle n=\mu 'm'+n',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcbfca7e65ddcefedbbe8b98c6eacd6757c91afb)
on aura (en substituant ces valeurs dans l’équation
)
![{\displaystyle \mathrm {M} 'n'-\mathrm {N} 'm'=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f9333dc9b32a85bce28d4ba1a87549f7c379f2)
de sorte que
sera nécessairement aussi positif.
Ensuite, si l’on fait
![{\displaystyle s'=\mu 'x'+s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/808ac8acfebd99ef70e078e8c0b1560f34424cf2)
on aura
![{\displaystyle y=\mathrm {M} 's'+\mathrm {N} 'x',\quad z=m's'+n'x'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147823fbb44327ef11bc1d9711f66b2a62fac6c6)
et, substituant ces valeurs dans la formule
![{\displaystyle py^{2}+2qyz-rz^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/690b90c5cc811bf87a9fe3edeb7054705b9f5af4)
on aura cette autre transformée
![{\displaystyle \mathrm {P} 's'^{2}+2\mathrm {Q} ''s'x'-\mathrm {R} 'x'^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e1e09859c80d9eb50afdbbc2972fef56d08190c)
où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} '\ =&p\mathrm {M} '^{2}+2q\mathrm {M} 'm'-rm'^{2},\\\mathrm {Q} ''=&p\mathrm {M'N'} +q(\mathrm {M} 'n'+\mathrm {N} 'm')-rm'n',\\\mathrm {R} '\ =&rn'^{2}-q\mathrm {N} 'n'-p\mathrm {N} '^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de242f89cc25a4a9c4a7b7179a5f378b03d6975e)
Et l’on prouvera, comme on a fait plus haut, que les nombres
et
seront de mêmes signes.
On pourra trouver pareillement une troisième transformée telle que
![{\displaystyle \mathrm {P} ''s'^{2}+2\mathrm {Q} '''s'x''-\mathrm {R} 'x''^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4abe32018df0401175bbfe7c1e5def7bfbc831f6)
dans laquelle
![{\displaystyle x''=\mu ''s'+x',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9597e9383fb6986b8d76c086555d8571b4dadca9)
et où
et
seront de mêmes signes, et ainsi de suite.