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Maintenant, comme les nombres

$\mathrm {M,N,M',N'} ,\ldots$

forment une suite décroissante de nombres entiers, il est clair qu’on doit parvenir nécessairement à un terme qui soit nul. Supposons donc, par exemple, que l’on ait $\mathrm {N} '=0,$ et à cause de

$\mathrm {M} 'n'-\mathrm {N} 'm'=\pm 1,$

on aura

$\mathrm {M} 'n'=1$

(car, à cause que les nombres $\mathrm {M} '$ et $n'$ sont tous deux positifs, il est évident qu’il faut prendre dans ce cas le signe supérieur), donc

$\mathrm {M} '=1\quad {\text{et}}\quad n'=1\,;$

de sorte qu’on aura dans ce cas

$y=s',\quad z=m's'+x'.$

D’où je conclus que, pour transformer la formule proposée

$py^{2}+2qyz-rz^{2}$

en celle-ci

$\mathrm {P} s^{2}+2\mathrm {Q} sx-\mathrm {R} x^{2},$

dans laquelle on ait

$\mathrm {PR+Q^{2}} =pr+q^{2}=a,$

et où $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ soient de mêmes signes, il faut faire les substitutions suivantes

$z=m'y+x',\quad y=\mu 'x'+s,\quad x'=\mu s+x,$

et prendre les nombres $m',\mu '$ et $\mu$ positifs et tels, que dans les transformées résultantes

${\begin{aligned}&\mathrm {P} 'y^{2}+2\mathrm {Q} ''yx'-\mathrm {R} 'x'^{2},\\&\mathrm {P} 's^{2}+2\mathrm {Q} '\ sx'-\mathrm {R} \ x'^{2},\\&\mathrm {P} \,\ s^{2}+2\mathrm {Q} \ \ sx\ -\mathrm {R} \ x^{2},\end{aligned}}$

les coefficients $\mathrm {R',P',R}$ et $\mathrm {P}$ soient tous de mêmes signes.

Voyons donc comment on pourra remplir ces conditions.

En faisant d’abord la substitution de $m'y+x'$ à la place de $z,$ on aura