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la première transformée, où

${\begin{aligned}\mathrm {R} '\ =&r,\\\mathrm {Q} ''=&q-rm',\\\mathrm {P} '\ =&p+2qm'-rm'^{2}={\frac {a-\mathrm {Q} ''^{2}}{\mathrm {R} '}}.\end{aligned}}$

Or

$\mathrm {P} '=-r\left(m'+{\frac {{\sqrt {a}}-q}{r}}\right)\left(m'-{\frac {{\sqrt {a}}+q}{r}}\right)\,;$

donc, pour que $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {R} '$ soient de mêmes signes, il faudra que les facteurs

$m'+{\frac {{\sqrt {a}}-q}{r}},\quad m'-{\frac {{\sqrt {a}}+q}{r}}$

soient de signes différents ; mais, à cause de ${\sqrt {a}}>q,$ il est clair que ${\sqrt {a}}\pm q$ sera toujours un nombre positif ; donc, si $r$ est positif, $m'+{\frac {{\sqrt {a}}-q}{r}}$ sera toujours positif, et il faudra que $m'-{\frac {{\sqrt {a}}+q}{r}}$ soit négatif, et par conséquent que

$m'<{\frac {{\sqrt {a}}+q}{r}}\,;$

si au contraire $r$ est négatif, $m'-{\frac {{\sqrt {a}}+q}{r}}$ sera positif, et il faudra que $m'+{\frac {{\sqrt {a}}-q}{r}}$ soit négatif, donc

$m'<{\frac {{\sqrt {a}}-q}{-r}}.$

Substituons ensuite $\mu 'x'+s$ à la place de $y,$ et l’on aura la seconde transformée, dans laquelle

${\begin{aligned}&\mathrm {Q'=Q''+P'} \mu ',\\&\mathrm {R\ =R'-2Q''\mu '-P'} \mu '^{2}={\frac {a-\mathrm {Q} '^{2}}{\mathrm {P} '}}\end{aligned}}$

J’observe que

$\mathrm {R} =-\mathrm {P} '\left(\mu '+{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}\right)\left(\mu '-{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}\right),$