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de sorte que pour que $\mathrm {R}$ et $\mathrm {P} '$ soient de mêmes signes il faut que les deux facteurs

$\mu '+{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}},\quad \mu '-{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}$

soient de signes différents ; or comme

$\mathrm {P'R'} =a-\mathrm {Q} ''^{2}$

($\mathrm {P} '$ et $\mathrm {R} '$ étant de mêmes signes), il s’ensuit que $\mathrm {Q} ''^{2}$ sera plus petit que $a,$ et par conséquent $\mathrm {Q} ''<{\sqrt {a}},$ de sorte que ${\sqrt {a}}\pm \mathrm {Q} ''$ sera toujours un nombre positif ; donc, si $\mathrm {P} '$ est positif, $\mu '+{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}$ sera positif, et il faudra que $\mu '-{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}$ soit négatif ; donc

$\mu '<{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}\,;$

mais, $\mu '$ devant être un nombre entier, il faudra que ${\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}$ soit plus grand que l’unité ; donc $\mathrm {P} '<{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''\,;$ donc, à cause de

$\mathrm {P'R'} =a-\mathrm {Q} ''^{2}=\left({\sqrt {a}}+\mathrm {Q} ''\right)\left({\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''\right),$

il faudra que $\mathrm {R} '$ soit plus grand que ${\sqrt {a}}+\mathrm {Q} '',$ c’est-à-dire

$r>{\sqrt {a}}+q-rm',$

et par conséquent

$(m'+1)r>{\sqrt {a}}+q,$

et de là

$m'>{\frac {{\sqrt {a}}+q}{r}}-1.$

Or $\mathrm {P} '$ doit être positif lorsque $r$ est positif, auquel cas on a déjà trouvé $m'<{\frac {{\sqrt {a}}+q}{r}}\,;$ donc on aura dans ce cas

${\begin{alignedat}{2}m'<&{\frac {{\sqrt {a}}+q}{r}},&m'>{\frac {{\sqrt {a}}+q}{r}}-1,\\\mu '<&{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}.\end{alignedat}}$