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À l’égard des valeurs de $\mathrm {V,V',V''} ,\ldots ,$ il est clair que pour les trouver il n’y aura qu’à multiplier ensemble les séries ci-dessus qui donnent les valeurs de $\alpha ^{x}$ et de $\beta ^{t}\,;$ on aura par ce moyen

${\begin{aligned}\mathrm {V} \ \ \ &=m^{x}p^{t},\\\mathrm {V} '\ \ &=m^{x}p^{t}(xn+tq),\\\mathrm {V} ''\ &=m^{x}p^{t}\left[{\frac {x(x-1)}{2}}n^{2}+xn.tq+{\frac {t(t-1)}{2}}q^{2}\right],\\\mathrm {V} '''&=m^{x}p^{t}\left[{\frac {x(x-1)(x-2)}{2.3}}n^{3}+{\frac {x(x-1)}{2}}n^{2}.tq\right.\\&\quad \qquad \qquad +\left.xn.{\frac {t(t-1)}{2}}q^{2}+{\frac {t(t-1)(t-2)}{2.3}}q^{3}\right],\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Et si $q=n,$ ce qui a lieu lorsque $\mathrm {A} =0,$ on aura plus simplement

${\begin{aligned}\mathrm {V} \ \ \ &=m^{x}p^{t},\\\mathrm {V} '\ \ &=m^{x}p^{t}(x+t)n,\\\mathrm {V} ''\ &=m^{x}p^{t}{\frac {(x+t)(x+t-1)}{2}}n^{2},\\\mathrm {V} '''&=m^{x}p^{t}{\frac {(x+t)(x+t-1)(x+t-2)}{2.3}}n^{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Le Problème est donc résolu avec toute la simplicité et la généralité qu’on peut désirer.

14. Dans l’Exemple du n^o 10 on a

$\mathrm {A=1,\quad B=0,\quad B'=1,\quad C'=-1} \,;$

donc

$m=1,\quad n=1,\quad p=0,\quad q=\infty ,\quad {\text{et}}\quad pq=1.$

Donc on trouvera (à cause de $p=0,q=\infty$ et $pq=1$)

$\mathrm {V=0,\quad V'=0,\quad V''=0,\ldots ,\quad V} ^{(t-1)}=0,$

$\mathrm {V} ^{(t)}=m^{x},\quad \mathrm {V} ^{(t+1)}=m^{x}xn,\quad \mathrm {V} ^{(t+2)}=m^{x}{\frac {x(x-1)}{2}}n^{2},$

$\mathrm {V} ^{(t+3)}=m^{x}{\frac {x(x-1)(x-2)}{2.3}}n^{3},\ldots .$