Mais, si ces variables ne sont pas indépendantes, alors il faudra réduire les différences
au plus petit nombre possible, et, égalant ensuite à zéro le coefficient de chacune de celles qui resteront, on aura les équations du Problème.
12. Si l’on multiplie les équations précédentes respectivement par ![{\displaystyle d\varphi ,d\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad70f053472a698ecaef5f8916c7c493ef909f5)
qu’ensuite on les ajoute ensemble, on aura une équation intégrable. En effet, puisque
![{\displaystyle d\varphi d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}+d\psi d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}+d\omega d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64561040d178c81bb2b858e8ec23f5415cc1bbfb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}=&d\left({\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}d\varphi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}d\psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}d\omega +\ldots \right)\\&-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}d^{2}\varphi -{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}d^{2}\psi -{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}d^{2}\omega -\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b981e429de3f538e00f6d7b6d4d9d531e5fc03)
l’équation dont il s’agit sera
![{\displaystyle {\begin{aligned}d&\left({\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}d\varphi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}d\psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}d\omega +\ldots \right)\\&-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}d^{2}\varphi -{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}d^{2}\psi -{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}d^{2}\omega -\ldots \\&-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \varphi }}\ \ d\varphi \,\ -{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}\ \ d\psi \ \,-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \omega }}\ \ d\omega \ \,-\ldots \\&+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }}\ \ d\varphi \ \,+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }}\ \ d\psi \ \,+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \omega }}\ \ d\omega \ \,+\ldots =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aedf807c23526ee5fa754be0fcae6a5351fd62e)
Or,
étant une fonction finie de
on aura
![{\displaystyle d{\mathrm {V} }={\frac {d\mathrm {V} }{d\varphi }}d\varphi +{\frac {d\mathrm {V} }{d\psi }}d\psi +{\frac {d\mathrm {V} }{d\omega }}d\omega +\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4511c558f45839667aad5e677fcdb2323b665d01)
mais
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {V} }{d\varphi }}={\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }},\quad {\frac {d\mathrm {V} }{d\psi }}={\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b898065462821f5cc24a69508a97506848f1a241)
ce qui est évident par la nature du Calcul différentiel. Donc on aura aussi
![{\displaystyle {\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }}d\varphi +{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }}d\psi +{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \omega }}d\omega +\ldots =d\mathrm {V} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37521fc490e45ed211657a5b5bb6e63ec0709b64)
On démontrera de même que, puisque
est une fonction des quantités finies
et de leurs différences premières
en re-