gardant
comme autant de variables indépendantes les unes des autres, on aura
![{\displaystyle {\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \varphi }}d\varphi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}d\psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \omega }}d\omega +\ldots +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}d\,d\varphi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}d\,d\psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}d\,d\omega +\ldots =d\mathrm {\mathrm {T} } .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cedd747c6b7b70bfb19f146d4012ac4275a0d5c)
Ainsi l’équation précédente prendra cette forme
![{\displaystyle d\left({\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}d\varphi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}d\psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}d\omega +\ldots \right)-d\mathrm {\mathrm {T} } +d\mathrm {\mathrm {V} } =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94200c2bf1d387851efd4ef787c38618e3746f84)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle {\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}d\varphi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}d\psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}d\omega +\ldots -\mathrm {T} +\mathrm {V} =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88913600d20560bd7e10cb5743e3420116439c93)
const.
Je remarque maintenant que par la nature de la quantité
on a nécessairement
![{\displaystyle {\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}d\varphi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}d\psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}d\omega +\ldots =2\mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f92fa4f2748747d2cb8e85e756e18d76b14f3a1)
Car
étant une fonction homogène de deux dimensions des différences
(10), elle sera aussi une pareille fonction des différences
donc, regardant ces différences comme des variables particulières, on aura par la propriété connue de ces sortes de fonctions
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {T} }{d\,d\varphi }}d\varphi +{\frac {d\mathrm {T} }{d\,d\psi }}d\psi +{\frac {d\mathrm {T} }{d\,d\omega }}d\omega +\ldots =2\mathrm {T} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f387a6dd53caf9b8577d056bdce42366e90594c)
ou, ce qui revient au même,
![{\displaystyle {\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}d\varphi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}d\psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\omega }}d\omega +\ldots =2\mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f92fa4f2748747d2cb8e85e756e18d76b14f3a1)
L’intégrale trouvée deviendra donc
![{\displaystyle \mathrm {T+V} =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7902535f43ceac309eb73c2cbf83135c9b725b)
const.,
équation qui n’est autre chose que celle qui renferme le principe connu de la conservation des forces vives ; car il est visible que
exprime la somme des forces vives actuelles de tous les corps du système, et que