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Ainsi la quantité

${\frac {\mathbf {S} \left(d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}\right)dm}{2dt^{2}}}$

deviendra

${\frac {\mathrm {A} d\mathrm {R} ^{2}+\mathrm {B} d\mathrm {Q} ^{2}+\mathrm {C} d\mathrm {P} ^{2}}{2dt^{2}}}-{\frac {\mathrm {F} d\mathrm {Q} d\mathrm {R} +\mathrm {G} d\mathrm {P} d\mathrm {R} +\mathrm {H} d\mathrm {P} d\mathrm {Q} }{dt^{2}}}$

en faisant, pour abréger,

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {A} =&\mathbf {S} \left(a^{2}+b^{2}\right)dm,\quad &\mathrm {B} =&\mathbf {S} \left(a^{2}+c^{2}\right)dm,\quad &\mathrm {C} =&\mathbf {S} \left(b^{2}+c^{2}\right)dm,\\\mathrm {F} =&\mathbf {S} bcdm,&\mathrm {G} =&\mathbf {S} acdm,&\mathrm {H} =&\mathbf {S} abdm.\end{alignedat}}$

Ces intégrations sont relatives à toute la masse du corps, en sorte que $\mathrm {A,B,C} ,$$\mathrm {F,G,H}$ doivent être maintenant regardées et traitées comme des constantes données par la figure du corps.

22. Il est à présent nécessaire de réduire les neuf variables $\xi ',\eta ',\zeta ',\xi '',\ldots$ à trois indéterminées, ce qu’on peut obtenir par le moyen des six équations de condition du n^o 16, ou plus simplement encore en cherchant directement les valeurs de ces mêmes variables par la méthode connue de la transformation des coordonnées.

En effet, puisque $\xi ,\eta ,\zeta$ sont les coordonnées rectangles d’un point quelconque de la masse du corps par rapport à trois axes passant par son centre et parallèles aux axes fixes des coordonnées $x,y,z,$ et que $a,b,c$ sont les coordonnées rectangles du même point par rapport à trois autres axes passant par le même centre, mais fixes au dedans du corps et par conséquent variables à l’égard des axes des $\xi ,\eta ,\zeta ,$ il s’ensuit que pour avoir les expressions de $\xi ,\eta ,\zeta$ en $a,b,c$ il n’y aura qu’à transformer de la manière la plus générale ces dernières coordonnées dans les autres.

Pour cela nous nommerons $\omega$ l’angle que le plan des $a,b$ fait avec celui des $\xi ,\eta ,$ et $\psi$ l’angle que l’intersection de ces deux plans fait avec l’axe des $\xi \,;$ enfin nous désignerons par $\varphi$ l’angle que l’axe des $a$ fait avec la même ligne d’intersection ; ces trois quantités $\omega ,\psi ,\varphi$ serviront, comme on voit, à déterminer la position des axes des coordonnées $a,b,c$