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point de semblables différentielles, ont des signes contraires. Ainsi, ayant la valeur de

$d\mathrm {X} ^{2}+d\mathrm {Y} ^{2}+d\mathrm {Z} ^{2},$

on aura facilement celle de

$d^{2}\mathrm {X\,\delta X} +d^{2}\mathrm {Y\,\delta Y} +d^{2}\mathrm {Z\,\delta Z} ,$

dont on a besoin dans la solution de tous les Problèmes de Dynamique qu’on voudra traiter suivant notre méthode.

IX.

Jusqu’ici la position de l’axe de rotation, autour duquel nous supposons que la Lune tourne en décrivant d’occident en orient l’angle $\omega ,$ est ahsolument arbitraire, et nous pourrons prendre telle ligne qu’il nous plaira pourvu qu’elle passe par le centre de gravité ; mais le calcul sera beaucoup simplifié si l’on suppose qu’abstraction faite des forces étrangères, la rotation de la Lune doive être uniforme, et son axe une ligne fixe et invariable. Voyons donc les conditions qui résultent de ces suppositions pour cela il n’y a qu’à faire

$\mathrm {T} =0,\quad \mathrm {S} =0$

dans l’équation (A), ce qui la réduit à

${\frac {1}{dt^{2}}}\int \alpha \left(d^{2}\mathrm {X\,\delta X} +d^{2}\mathrm {Y\,\delta Y} +d^{2}\mathrm {Z\,\delta Z} \right)=0\,;$

et il faudra que cette équation sui vraie en faisant

$d^{2}\omega =0,\quad d\varepsilon =0,\quad d\pi =0\,;$

or, dans ce cas, on aura (Article VII)

${\begin{aligned}d^{2}&\mathrm {X\,\delta X} +d^{2}\mathrm {Y\,\delta Y} +d^{2}\mathrm {Z\,\delta Z} \\&=r^{2}\sin \mathrm {P\cos P\cos Q'} \sin \pi d\omega ^{2}\delta \varepsilon -r^{2}\sin \mathrm {P\cos P\sin Q'} d\omega ^{2}\delta \pi \,;\end{aligned}}$