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$n\varepsilon ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ et les anomalies moyennes

$\left(\mu -{\frac {n}{2}}\rho '\right)t+\omega ',\ \ \left(\mu -{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t+\omega '',\ \ \left(\mu -{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega ''',\ \ \left(\mu -{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\omega ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,;$

d’où l’on voit que les mouvements de ces anomalies seront au mouvement moyen du satellite comme $1-{\frac {n}{2}}{\frac {\rho '}{\mu }},\ 1-{\frac {n}{2}}{\frac {\rho ''}{\mu }},\ 1-{\frac {n}{2}}{\frac {\rho '''}{\mu }}$ et $1-{\frac {n}{2}}{\frac {\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu }}$ à $1\,;$ par conséquent les apsides avanceront de

${\frac {n}{2}}{\frac {\rho '}{\mu }}.360^{\circ },\quad {\frac {n}{2}}{\frac {\rho ''}{\mu }}.360^{\circ },\quad {\frac {n}{2}}{\frac {\rho '''}{\mu }}.360^{\circ },\quad {\frac {n}{2}}{\frac {\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu }}.360^{\circ }$

à chaque révolution du satellite.

On pourrait, par la méthode de l’Article III, réduire ces quatre équations à une seule, dans laquelle l’excentricité serait variable et le mouvement des apsides non uniforme ; mais je crois qu’il est plus commode de les laisser sous leur forme naturelle.

CX.

On suivra une méthode analogue pour trouver la valeur de $z_{1},$ au moyen des équations $\mathrm {(N_{1}),(N_{2})} ,\ldots$ de l’Article XCI. Mais, sans entrer dans de nouveaux calculs à cet égard, il suffire de remarquer que les équations dont nous parlons peuvent se déduire des équations $\mathrm {(M_{1})} ,$$\mathrm {(M_{2})} ,\ldots$ en changeant $\mathrm {x}$ en $z$, $\mathrm {M}$ en $\mathrm {N} ,$ $\Psi$ en $\Gamma ,$ et supposant nulles toutes les quantités marquées par la lettre ${\overset {\circ }{\Pi }}\,;$ d’où il s’ensuit :

1^o Que si l’on fait (Article XCVIII)

$(1,2)={\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}),\quad (1,3)={\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3}),\quad (2,1)={\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1}),\ldots \,;$

ensuite

$\mathrm {K} _{1}=-2{\frac {{\cfrac {\sigma }{\mu _{1}}}-\pi _{1}}{\chi _{1}}},\quad \mathrm {K} _{2}=-2{\frac {{\cfrac {\sigma }{\mu _{2}}}-\pi _{2}}{\chi _{2}}},\ldots ,$

on aura pour $\mathrm {A_{1},B_{1},C_{1}}$ les mêmes expressions que dans l’Article XCIX, et la valeur de $\sigma$ devra se déterminer au moyen de l’équation $(\mathrm {Z} ).$