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2^o Que si l’on suppose, lorsque $t=0,$

$z_{1}=\mathrm {Z} _{1},\quad z_{2}=\mathrm {Z} _{2},\quad z_{3}=\mathrm {Z} _{3},\quad z_{4}=\mathrm {Z} _{4},$

${\frac {dz_{1}}{dt}}=\mathrm {V} _{1},\quad {\frac {dz_{2}}{dt}}=\mathrm {V} _{2},\quad {\frac {dz_{3}}{dt}}=\mathrm {V} _{3},\quad {\frac {dz_{4}}{dt}}=\mathrm {V} _{4}.$

et qu’on fasse

$\chi _{1}=\mathrm {\sqrt {(V_{1}+A_{1}V_{2}+B_{1}V_{3}+C_{1}V_{4})^{2}+(\mu _{1}Z_{1}+A_{1}\mu _{2}Z_{2}+B_{1}\mu _{3}Z_{3}+C_{1}\mu _{4}Z_{4})^{2}}} ,$

$\cot \eta _{1}=\mathrm {\frac {V_{1}+A_{1}V_{2}+B_{1}V_{3}+C_{1}V_{4}}{\mu _{1}Z_{1}+A_{1}\mu _{2}Z_{2}+B_{1}\mu _{3}Z_{3}+C_{1}\mu _{4}Z_{4}}} ,$

ensuite

${\begin{alignedat}{2}\lambda '_{1}\ =&{\frac {\chi '_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\qquad &\lambda ''_{1}\,=&{\frac {\alpha _{1}\chi ''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\\\lambda '''_{1}=&{\frac {\beta _{1}\chi '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},&\lambda _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {\gamma _{1}\chi _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\end{alignedat}}$

les quantités $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}$ étant déterminées par les équations $(\delta )$ de l’Article CIV, on aura

${\begin{aligned}z_{1}&=\lambda _{1}'\sin \left[\left(\mu _{1}+{\frac {n}{2}}\sigma '\ \,\right)t+\eta '_{1}\ \right]+\lambda ''_{1}\,\sin \left[\left(\mu _{1}+{\frac {n}{2}}\sigma ''\,\right)t+\eta ''_{1}\,\right]\\&+\lambda _{1}'''\sin \left[\left(\mu _{1}+{\frac {n}{2}}\sigma '''\right)t+\eta '''_{1}\right]+\lambda _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin \left[\left(\mu _{1}+{\frac {n}{2}}\sigma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\eta _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right],\end{aligned}}$

et ainsi des autres quantités $z_{2},z_{3},z_{4},\ldots .$

CXI.

Cette expression de $z_{1}$ est composée, comme l’on voit, de quatre termes, chacun analogue à l’expression de $z_{1},$ trouvée dans l’Article XL, laquelle donne un plan mobile dont l’inclinaison est constante ; donc, pour trouver la position de l’orbite d’un satellite quelconque, il n’y aura qu’à imaginer quatre plans passant par le centre de Jupiter, dont le premier se meuve sur celui de l’orbite de cette Planète, en gardant toujours avec lui