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donc l’équation à vérifier sera

${\frac {\sin \pi d\omega ^{2}\delta \varepsilon }{dt^{2}}}\int \alpha r^{2}\mathrm {\sin P\cos P\cos Q'} -{\frac {d\omega ^{2}\delta \pi }{dt^{2}}}\int \alpha r^{2}\mathrm {\sin P\cos P\sin Q'} =0,$

laquelle donne séparément les deux suivantes (Article IV à la fin)

(F)

$\int \alpha r^{2}\mathrm {\sin P\cos P\cos Q'} =0,\quad \int \alpha r^{2}\mathrm {\sin P\cos P\sin Q'} =0.$

Telles sont les conditions nécessaires pour que la Lune puisse d’elle-même tourner uniformément autour d’un axe fixe ; par conséquent si l’on suppose, comme les observations de la libration paraissent le démontrer, que ces conditions aient lieu dans la rotation de la Lune, il faudra négliger, dans la valeur (Article VII) de

$d^{2}\mathrm {X\,\delta X} +d^{2}\mathrm {Y\,\delta Y} +d^{2}\mathrm {Z\,\delta Z} ,$

tous les termes où se trouvent $\mathrm {\sin P\cos P\cos Q'}$ et $\mathrm {\sin P\cos P\sin Q'} \,;$ et pour avoir l’intégrale

$\int \alpha \left(d^{2}\mathrm {X\,\delta X} +d^{2}\mathrm {Y\,\delta Y} +d^{2}\mathrm {Z\,\delta Z} \right),$

il n’y aura plus qu’à mettre au lieu de $\mathrm {Q} '$ sa valeur $\mathrm {Q} +\omega \,;$ ce qui donne

${\begin{aligned}&\mathrm {\cos 2Q'=\cos 2Q\cos 2\omega -\sin 2Q\sin 2\omega } ,\\&\mathrm {\sin \,2Q'=\cos 2Q\sin \,2\omega +\sin 2Q\cos 2\omega } .\end{aligned}}$

En supposant, pour abréger,

(G)

$\left\{{\begin{aligned}&\int \alpha r^{2}\mathrm {\cos ^{2}P=H} ,\qquad \int \alpha r^{2}\mathrm {\sin ^{2}P=K} ,\\&\int \alpha r^{2}\mathrm {\cos ^{2}P\cos 2Q=M} ,\qquad \int \alpha r^{2}\mathrm {\cos ^{2}P\sin 2Q=N} ,\\\end{aligned}}\right.$

on trouvera pour la valeur de

${\frac {1}{dt^{2}}}\int \alpha \left(d^{2}\mathrm {X\,\delta X} +d^{2}\mathrm {Y\,\delta Y} +d^{2}\mathrm {Z\,\delta Z} \right)$