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la même inclinaison ; le second se meuve de la même manière sur le premier le troisième sur le second, et enfin le quatrième, qui sera celui de l’orbite du satellite, se meuve pareillement sur le troisième. Ainsi les quantités $n\lambda ',n\lambda '',n\lambda ''',n\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ seront les tangentes des inclinaisons du premier plan sur celui de Jupiter, du second sur le premier, du troisième sur le second et du quatrième sur le troisième, et les angles

$\left(\mu +{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta ',\ \ \left(\mu +{\frac {n}{2}}\sigma ''\right)t+\eta '',\ \ \left(\mu +{\frac {n}{2}}\sigma '''\right)t+\eta ''',\ \ \left(\mu +{\frac {n}{2}}\sigma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\eta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,;$

seront les distances du satellite aux nœuds du premier plan avec celui de $\mathbb {Z} \!^{\upsilon },$ du second avec le premier, du troisième avec le second et du quatrième avec le troisième ; d’où l’on voit que les nœuds de ces quatre plans rétrograderont pendant une révolution du satellite de

${\frac {n}{2}}{\frac {\sigma '}{\mu }}.360^{\circ },\quad {\frac {n}{2}}{\frac {\sigma ''}{\mu }}.360^{\circ },\quad {\frac {n}{2}}{\frac {\sigma '''}{\mu }}.360^{\circ },\quad {\frac {n}{2}}{\frac {\sigma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu }}.360^{\circ }.$

Si l’on voulait connaître directement la position du plan de l’orbite du satellite par rapport à celui de l’orbite de Jupiter, on y parviendrait par la méthode de l’Article III ; car, nommant $n\tau$ la tangente de l’inclinaison et $\psi$ la distance du satellite au nœud ascendant, on aurait

$n\tau ={\sqrt {n^{2}z^{2}+{\frac {n^{2}dz^{2}}{d\varphi ^{2}}}}},\quad \operatorname {tang} \psi ={\frac {nzd\varphi }{ndz}},$

savoir, à cause de $\varphi =\mu t+ny,$

$\tau ={\sqrt {z^{2}+{\frac {dz^{2}}{\mu ^{2}dt^{2}}}}},\quad \operatorname {tang} \psi ={\frac {\mu zdt}{dz}},$

d’où l’on tire, par les logarithmes,

$\psi ={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\left[\log \left({\frac {dz}{\mu dt}}+z{\sqrt {-1}}\right)-\log \left({\frac {dz}{\mu dt}}-z{\sqrt {-1}}\right)\right],$

expression dans laquelle les imaginaires se détruiront mutuellement.