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Donc, puisque

$\mathrm {K} _{1}=2{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{1}}}-{\text{ϐ}}_{1}}{\chi _{1}}},\quad \mathrm {K} _{2}=2{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{2}}}-{\text{ϐ}}_{2}}{\chi _{2}}},\ldots ,$

on a, pour les quatre valeurs de $\rho ,$ les équations suivantes

${\begin{aligned}&{\cfrac {\rho }{\mu _{1}}}-0{,}982\chi _{2}-0{,}124\chi _{3}=0,\\&{\cfrac {\rho }{\mu _{4}}}-0{,}260\chi _{2}-1{,}139\chi _{3}=0,\\&{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{2}}}-0{,}940\chi _{2}}{\chi _{2}}}\times {\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{3}}}-1{,}467\chi _{3}}{\chi _{3}}}-0{,}408=0,\end{aligned}}$

d’où l’on tire à peu près

$\rho =0{,}731\mu _{3}\chi _{3}+0{,}470\chi _{3}\pm {\sqrt {\left(0,731\mu _{3}\chi _{2}+0{,}470\mu _{3}\chi _{3}\right)^{2}+0{,}408\mu _{2}\mu _{3}\chi _{2}\chi _{3}}}.$

Ainsi l’on aura les quatre valeurs de $\rho ,$ qui donneront pour chaque satellite quatre équations, dont les périodes seront de $1+{\frac {n\rho }{2\mu }}$ révolutions de Jupiter.

§ V. — Des durées des éclipses des satellites de Jupiter,.

CXIX.

La durée d’une éclipse dépend de quatre éléments de la largeur de l’ombre de Jupiter, de la vitesse du satellite, de sa latitude, et de l’inclinaison de sa route, laquelle peut être prise pour rectiligne pendant tout le temps de l’éclipse.

Soit donc $\alpha$ l’angle que le demi-diamètre de la section de l’ombre soustend au centre de Jupiter ; cet angle est donné par les observations pour chacun des quatre satellites.

Supposons de plus que $\varphi$ dénote la longitude du satellite, et $p$ la tangente de sa latitude, au moment de la conjonction