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Enfin soit $\varphi -\psi$ la longitude du satellite au moment de son entrée dans l’ombre ; de sorte que $\psi$ exprime l’angle qu’il parcourt sur le plan de Jupiter depuis l’immersion jusqu’à la conjonction.

On aura, pour la valeur de $p$ qui y répond, $p-{\frac {dp}{d\varphi }}\psi$ à peu près.

Cela posé, supposons, pour plus d’exactitude, que la section de l’ombre soit une ellipse semblable à celle des méridiens de Jupiter ; il est visible qu’on aura

Demi-grand axe de l’ellipse $\,\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ \quad \nu \alpha ,$

Demi-petit axe ($\mathrm {E}$ étant l’ellipticité comme dans l’Article XVI).$\,\quad \nu \alpha (1-\mathrm {E} )$

Abscisse prise depuis le centre $\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad \nu \psi ,$

Appliquée correspondante $\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad \nu \left(p-{\frac {dp}{d\varphi }}\psi \right).$

Donc, par la nature de l’ellipse,

$\alpha ^{2}-\psi ^{2}:\left(p-{\frac {dp}{d\varphi }}\psi \right)^{2}=1:(1-\mathrm {E} )^{2},$

équation d’où l’on tirera $\psi .$

On aura donc

$\alpha ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-\psi ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}=p^{2}-2{\frac {pdp}{d\varphi }}\psi +{\frac {dp^{2}}{d\varphi ^{2}}}\psi ^{2}\,;$

d’où l’on tire, après les réductions,

$\psi ={\frac {{\cfrac {pdp}{d\varphi }}\pm (1-\mathrm {E} ){\sqrt {\alpha ^{2}\left[(1-\mathrm {E} )^{2}+{\cfrac {dp^{2}}{d\varphi ^{2}}}\right]-p^{2}}}}{(1-\mathrm {E} )^{2}+{\cfrac {dp^{2}}{d\varphi ^{2}}}}}.$

Le signe $+$ donne la valeur $\psi$ pour l’immersion, comme nous l’avons supposé, et le signe $-$ donne au contraire la valeur de $\psi$our l’émersion.

CXX.

Substituons maintenant $\mu t+ny$ au lieu de $\varphi ,$ $nz$ au lieu de $p,$ et de même $n\delta$ au lieu de $\alpha$ (car il est évident que la quantité $\alpha$ doit être du