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même ordre que la quantités $p$) ; on aura, en ne négligeant que les termes affectés de $n^{3},$

$\psi =\pm {\frac {n}{1-\mathrm {E} }}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}+{\frac {n^{2}}{(1-\mathrm {E} )^{2}}}{\frac {zdz}{\mu dt}}.$

CXXI.

Pour convertir cette expression en temps, on la divisera par la vitesse angulaire qui est ${\frac {d\varphi }{dt}}=\mu +n{\frac {dy}{dt}}\,;$ ce qui donnera, en négligeant toujours les $n^{3},$

$\pm {\frac {n}{\mu (1-\mathrm {E} )}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}+{\frac {n^{2}}{\mu (1-\mathrm {E} )^{2}}}\left[{\frac {zdz}{\mu dt}}\mp (1-\mathrm {E} ){\frac {dy}{\mu dt}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}\right].$

Donc l’intervalle entre l’immersion et la conjonction sera

${\frac {n}{\mu (1-\mathrm {E} )}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}+{\frac {n^{2}}{\mu (1-\mathrm {E} )^{2}}}\left[{\frac {zdz}{\mu dt}}-(1-\mathrm {E} ){\frac {dy}{\mu dt}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}\right],$

et l’intervalle entre la conjonction et l’émersion sera

${\frac {n}{\mu (1-\mathrm {E} )}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}-{\frac {n^{2}}{\mu (1-\mathrm {E} )^{2}}}\left[{\frac {zdz}{\mu dt}}+(1-\mathrm {E} ){\frac {dy}{\mu dt}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}\right].$

Par conséquent la demi-durée sera

${\frac {n}{\mu (1-\mathrm {E} )}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}-{\frac {n^{2}}{\mu (1-\mathrm {E} )}}{\frac {dy}{\mu dt}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}.$

CXXII.

Il paraît que les Astronomes ont toujours supposé jusqu’à présent que les durées des éclipses des satellites étaient les mêmes avant et après la conjonction ; ce qui n’est pas vrai à la rigueur, la différence étant de

${\frac {n^{2}}{\mu (1-\mathrm {E} )^{2}}}{\frac {zdz}{\mu dt}},\quad {\text{c’est-à-dire de}}\quad {\frac {pdp}{\mu ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}dt}}\,;$

d’où l’on voit que ces durées ne peuvent être égales que dans deux cas