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VIII.

Pour cet effet, nous remarquerons d’abord qu’en connaissant $r,r',r''$ on connaîtra aussi $u,u',u'',$ et $d\mathrm {V} ,d\mathrm {V} ',d\mathrm {V} ''$ par les formules de l’Article V. De sorte qu’on aura ${\biggl (}{\biggr .}$ en mettant $p''$ à la place de ${\frac {r^{2}+r'^{2}-r''^{2}}{2}}$ et $v''$ à la place de ${\biggl .}{\frac {u^{2}+u'^{2}-u''^{2}}{2}}{\biggr )}$ les dix équations suivantes

${\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},\\&x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=r'^{2},\\&xx'+yy'+zz'=p'',\\&xdx+ydy+zdz=rdr,\\&x'dx'+y'dy'+z'dz'=r'dr',\\&x'dx+y'dy+z'dz=d\mathrm {V} ,\\&xdx'+ydy'+zdz'=d\mathrm {V} ',\\&dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=u^{2}dt^{2},\\&dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}=u'^{2}dt^{2},\\&dxdx'+dydy'+dzdz'=v''dt^{2}.\end{aligned}}$

Or, en regardant les quantités $x,y,z,$ $x',y',z',$ $dx,dy,dz,$ $dx',dy',dz'$ comme autant d’inconnues, il est clair que les équations précédentes ne suffisent pas pour les déterminer, puisqu’on aurait douze inconnues, et seulement dix équations ; mais, si l’on joint à ces équations les trois équations (D) de l’Article II on aura alors une équation de plus qu’il n’y a d’inconnues, et la difficulté ne consistera qu’à résoudre ces équations.

IX.

J’observe, à l’égard des équations de l’Article précédent, qu’elles ne peuvent tenir lieu que de neuf équations, parce que, en éliminant quelques-unes des inconnues, il arrive que les autres s’en vont d’elles-mêmes,