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$-\lambda 'z+\mu 'y-\nu 'x$ est la même quantité que nous avons désignée plus haut par $\delta$ (Article IX) ; donc, puisqu’on a déjà trouvé (Article X)

$\delta ^{2}=\left(r^{2}r'^{2}-p''^{2}\right)u'^{2}dt^{2}-r^{2}r'^{2}dr'^{2}+2p''r'dr'd\mathrm {V} '-r'^{2}d\mathrm {V} '^{2},$

on aura, en faisant les substitutions du même Article X,

$(\lambda 'z-\mu 'y+\nu 'x)^{2}=\left[(pp'+pp''+p'p'')u'^{2}-{\frac {\Sigma '}{4}}\right]dt^{2},$

et par analogie

$(\lambda ''z-\mu ''y+\nu ''x)^{2}=\left[(pp'+pp''+p'p'')u''^{2}-{\frac {\Sigma ''}{4}}\right]dt^{2}.$

De sorte que l’équation ci-dessus deviendra

(S)

${\begin{aligned}{\frac {{\frac {1}{2}}{\sqrt {4(pp'+pp''+p'p'')u'^{2}-\Sigma '}}}{\mathrm {B} }}+&{\frac {{\frac {1}{2}}{\sqrt {4(pp'+pp''+p'p'')u''^{2}-\Sigma ''}}}{\mathrm {A} }}\\&=az-by+cx.\end{aligned}}$

Ainsi on aura trois équations $\mathrm {(Q),(R)}$ et $(\mathrm {S} ),$ à l’aide desquelles on pourra déterminer facilement les valeurs de $x,y,z,$ dès qu’on connaîtra celles de $r,r'$ et $r''.$

On peut trouver de semblables formules pour la détermination de $x',y',z'\,;$ et même, sans faire un nouveau calcul, il suffira de changer dans les précédentes $\mathrm {B}$ en $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C}$ en $\mathrm {B} ,$ d’accentuer les lettres qui n’ont point d’accent et d’effacer l’accent de celles qui en ont un, sans toucher à celles qui ont deux accents. Il faut seulement observer que la quantité $d\rho$ ne change point de valeur, mais seulement de signe, lorsqu’on change entre elles les masses $\mathrm {A,B,C}$ et les lettres accentuées, ce qui se voit clairement par l’équation $(\mathrm {H} )$ de l’Article V.

XIV.

Supposons, pour abréger,

${\begin{aligned}&\mathrm {T={\frac {\Pi }{C}}+{\frac {\Psi ''}{B}}+{\frac {\Psi '}{A}}} ,\\&\mathrm {Z} ={\frac {\sqrt {4(pp'+pp''+p'p'')u'^{2}-\Sigma '}}{2\mathrm {B} }}+{\frac {\sqrt {4(pp'+pp''+p'p'')u''^{2}-\Sigma ''}}{2\mathrm {A} }},\end{aligned}}$