Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/255

et l’on aura ces trois équations

${\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},\\&az-by+cx=\mathrm {Z} ,\\&a(ydx-xdy)+b(zdx-xdz)+c(zdy-ydz)=\mathrm {T} dt.\end{aligned}}$

Comme les constantes $a,b,c$ sont arbitraires (Article II) et ne dépendent que de la position du plan de projection des orbites des Corps $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ autour du Corps $\mathrm {A} ,$ il est facile de voir qu’on peut prendre ce plan de manière que l’on ait $b=0$ et $c=0\,;$ car pour cela il suffira qu’on ait $b=0$ et $c=0$ au commencement du mouvement, c’est-à-dire, lorsque $t=0.$

Supposantdonc $b=0$ et $c=0,$ on aura

$z=\mathrm {Z} ,\quad a(ydx-xdy)=\mathrm {T} dt\,;$

donc

$z={\frac {\mathrm {Z} }{a}},$

et, à cause de $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},$ on aura

$x^{2}+y^{2}=r^{2}-{\frac {\mathrm {Z} ^{2}}{a^{2}}}\,;$

donc

${\frac {ydx-xdy}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {a\mathrm {T} dt}{a^{2}r^{2}-\mathrm {Z} ^{2}}}\,;$

de sorte qu’en faisant

$d\varphi ={\frac {a\mathrm {T} dt}{a^{2}r^{2}-\mathrm {Z} ^{2}}},$

on aura

${\frac {y}{x}}=\operatorname {tang} \varphi ,$

et de là

$z={\frac {\mathrm {Z} }{a}},\quad y={\sqrt {r^{2}-{\frac {\mathrm {Z} ^{2}}{a^{2}}}}}\sin \varphi ,\quad x={\sqrt {r^{2}-{\frac {\mathrm {Z} ^{2}}{a^{2}}}}}\cos \varphi .$