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XV.

Mais si l’on ne veut pas s’astreindre à la supposition de $b=0$ et $c=0,$ ce qui oblige de prendre le plan de projection d’une manière déterminée, voici comment on pourra déterminer les quantités $x,y,z$ avec toute la généralité possible.

Soient

$lz-my+nx=\mathrm {X} ,\quad \lambda z-\mu y+\nu x=\mathrm {Y} ,$

$l,m,n,\lambda ,\mu ,\nu$ étant des coefficients indéterminés, et $\mathrm {X,Y}$ deux nouvelles variables ; on aura

$\mathrm {Y} d\mathrm {X} -\mathrm {X} d\mathrm {Y} =$

$(m\nu -n\mu )(ydx-xdy)+(n\lambda -l\nu )(zdx-xdz)+(l\mu -m\lambda )(zdy-ydz)\,;$

donc, faisant

$m\nu -n\mu =ka,\quad n\lambda -l\nu =kb,\quad l\mu -m\lambda =kc,$

on aura l’équation (Article XIV)

$\mathrm {Y} d\mathrm {X} -\mathrm {X} d\mathrm {Y} =k\mathrm {T} dt.$

Supposons maintenant que l’on ait

$f\mathrm {\left(X^{2}+Y^{2}\right)} +g\mathrm {Z} ^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$

substituant les valeurs de $\mathrm {X,Y}$ et $\mathrm {Z}$ en $x,y$ et $z,$ et comparant ensuite les termes qui contiennent les mêmes puissances de $x,y$ et $z,$ on aura ces six équations

${\begin{alignedat}{5}f\left(l^{2}\ \ +\lambda ^{2}\right)+&ga^{2}&=&1,\qquad &f(lm\,+\lambda \mu )+&gab&=&0,\\f\left(m^{2}+\mu ^{2}\right)+&gb^{2}&=&1,&f(ln\ \,+\lambda \nu )+&gac&=&0,\\f\left(n^{2}\,\ +\nu ^{2}\right)+&gc^{2}&=&1,&f(mn+\mu \nu )+&gbc&=&0,\end{alignedat}}$

lesquelles, étant combinées avec les trois précédentes, serviront à déterminer les neuf inconnues $l,m,n,\lambda ,\mu ,\nu ,f,g,k.$