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XVI.

Cela fait, on aura donc, à cause de $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},$ l’équation

$f\mathrm {\left(X^{2}+Y^{2}\right)} +g\mathrm {Z} ^{2}=r^{2},$

d’où

$f\mathrm {\left(X^{2}+Y^{2}\right)} =r^{2}-g\mathrm {Z} ^{2}\,;$

donc

${\frac {\mathrm {Y} d\mathrm {X} -\mathrm {X} d\mathrm {Y} }{\mathrm {X^{2}+Y^{2}} }}={\frac {fk\mathrm {T} dt}{r^{2}-g\mathrm {Z} ^{2}}}.$

Donc, si l’on fait

$d\varphi ={\frac {fk\mathrm {T} dt}{r^{2}-g\mathrm {Z} ^{2}}},$

on aura

$\mathrm {Y} ={\sqrt {\frac {r^{2}-g\mathrm {Z} ^{2}}{f}}}\sin \varphi ,\quad \mathrm {X} ={\sqrt {\frac {r^{2}-g\mathrm {Z} ^{2}}{f}}}\cos \varphi .$

Ainsi l’on connaîtra les trois quantités $\mathrm {X,Y,Z} ,$ à l’aide desquelles on pourra déterminer $x,y,z.$

Pour cela, on prendra les trois équations

$lz-my+nx=\mathrm {X} ,\quad \lambda z-\mu y+\nu x=\mathrm {Y} ,\quad az-by+cx=\mathrm {Z} ,$

et on les ajoutera ensemble après les avoir multipliées respectivement : 1^o par $fl,f\lambda ,ga\,;$ 2^o par $fm,f\mu ,gb\,;$ 3^o par $fn,f\nu ,gc\,;$ on aura sur-lechamp, en vertu des équations de l’Article précédent,

$z=f(l\mathrm {X} +\lambda \mathrm {Y} )+ga\mathrm {Z} ,\ \ y=-f(m\mathrm {X} +\mu \mathrm {Y} )-gb\mathrm {Z} ,\ \ x=f(n\mathrm {X} +\nu \mathrm {Y} )+gc\mathrm {Z} .$

XVII.

Maintenant, comme on a supposé

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=f\mathrm {\left(X^{2}+Y^{2}\right)} +g\mathrm {Z} ^{2},$

on aura, en substituant les valeurs de $x,y,z$ qu’on vient de trouver, et