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comparant les termes homogènes,

${\begin{alignedat}{3}f\left(\,l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)=&1,\qquad &l\,\lambda +&m\mu &+&n\nu =&0,\\f\left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}\ +\nu ^{2}\right)=&1,&l\,a+&mb&+&nc=&0,\\g\,\left(a^{2}+b^{2}\ \ +c^{2}\right)=&1,&\lambda a+&\mu b&+&\nu c=&0,\end{alignedat}}$

et ces équations devront être identiques avec les six qu’on a trouvées ci-dessus (Article XV), et pourront par conséquent être employées à la place de celles-là pour la détermination des inconnues $l,m,\ldots .$

Or, comme il faut satisfaire en même temps à ces trois autres équations (Article XV)

$m\nu -n\mu =ka,\quad n\lambda -l\nu =kb,\quad l\mu -m\lambda =kc,$

je remarque que, si l’on ajoute ensemble ces dernières équations après les avoir multipliées respectivement : 1^o par $l,m,n\,;$ 2^o par $\lambda ,\mu ,\nu ,$ on aura ces deux-ci

$k(la+mb+nc)=0,\quad k(\lambda a+\mu b+\nu c)=0,$

lesquelles s’accordent avec la cinquième et la sixième des précédentes ; ainsi l’on peut déjà réduire à une seule les trois équations dont il s’agit, et l’on y satisfera par la détermination de l’inconnue $k.$ Or, si l’on ajoute ensemble les carrés de ces équations, on aura

${\begin{aligned}k^{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=&(m\nu -n\mu )^{2}+(n\lambda -l\nu )^{2}+(l\mu -m\lambda )^{2}\\=&\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)\left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}\right)-(l\lambda +m\mu +n\nu )^{2}={\frac {1}{f^{2}}}\end{aligned}}$

en vertu des six équations ci-dessus ; de sorte qu’on aura

$k={\frac {1}{f{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}.$

Donc il n’y aura plus qu’à satisfaire aux six équations trouvées plus haut c’est ce qu’on pourra exécuter de plusieurs manières à cause qu’il y a plus d’indéterminées que d’équations.