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on aura donc

(I)

$\left\{{\begin{aligned}&\left.{\begin{aligned}\mathrm {H} =&{\frac {4}{3}}c\mathrm {F} +e\int \mathrm {DX} dr'\cos ^{3}\mathrm {P} d\mathrm {P} d\mathrm {Q} ,\\\mathrm {K} =&{\frac {4}{3}}c\mathrm {F} +e\int \mathrm {DX} dr'\sin ^{2}\mathrm {P} \cos \mathrm {P} d\mathrm {P} d\mathrm {Q} ,\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {{\grave {a}}\ tr{\grave {e}}s\ peu\ pr{\grave {e}}s} \left\{{\begin{aligned}\mathrm {H} =&{\frac {4}{3}}c\mathrm {F} ,\\\mathrm {K} =&{\frac {2}{3}}c\mathrm {F} \,;\end{aligned}}\right.\\&\mathrm {M} =e\int \mathrm {DX} dr'\cos ^{3}\mathrm {P} \cos 2\mathrm {Q} d\mathrm {P} d\mathrm {Q} ,\\&\mathrm {N} =e\int \mathrm {DX} dr'\cos ^{3}\mathrm {P} d\mathrm {P} \sin 2\mathrm {Q} d\mathrm {Q} .\end{aligned}}\right.$

D’où l’on voit : 1^o que les quantités $\mathrm {H}$ et $\mathrm {K}$ sont des quantités finies ; 2^o que les quantités $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ sont des quantités très-petites par rapport à $\mathrm {H}$ et $\mathrm {K} ,$ étant de l’ordre de $e\,;$ 3^o que la quantité $\mathrm {K-{\tfrac {1}{2}}H}$ est aussi une quantité très-petite du même ordre, étant égale à

$e\int \mathrm {DX} dr'\left(\sin ^{2}\mathrm {P} -{\tfrac {1}{2}}\cos ^{2}\mathrm {P} \right)\cos \mathrm {P} d\mathrm {P} d\mathrm {Q} .$

Quant à la masse de la Lune, on la trouve en intégrant l’expression de $\alpha ,$ savoir, dans la supposition présente,

$\mathrm {D} r^{2}dr\cos \mathrm {P} d\mathrm {P} d\mathrm {Q} =\mathrm {D} r'^{2}dr'\cos \mathrm {P} d\mathrm {P} d\mathrm {Q} +e\mathrm {DX} 'dr'\cos \mathrm {P} d\mathrm {P} d\mathrm {Q} ,$

et son intégrale sera

$2c\int \mathrm {D} r'^{2}dr'+e\int \mathrm {DX} 'dr'\cos \mathrm {P} d\mathrm {P} d\mathrm {Q} ,$

en prenant ici $\mathrm {X} '$ pour la valeur de ${\frac {d(r'^{3}\xi )}{dr'}}.$

Donc, nommant cette masse $\mathrm {L} ,$ on aura, aux quantités de l’ordre de $e$ près,

$\mathrm {L} =2c\int \mathrm {D} r'^{2}dr',\quad {\text{d’où}}\quad \int \mathrm {D} r'^{2}dr'={\frac {\mathrm {L} }{2c}}.$

Or, quoique sans connaître la valeur de $\mathrm {D}$ on. ne puisse déterminer le rapport de $\mathrm {F}$ ou de $\int \mathrm {D} r'^{4}dr'$ à $\int \mathrm {D} r'^{2}dr',$ on peut néanmoins trouver