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des limites entre lesquelles ce rapport doit nécessairement demeurer. Il est clair : 1^o que, si $f$ exprime la valeur de $r'$ à la surface,

$\int \mathrm {D} r'^{4}dr'<f^{2}\int \mathrm {D} r'^{2}dr',$

parce que $r'^{4}$ est toujours $<f^{2}r'^{2}\,;$ de plus on a

$\int \mathrm {D} r'^{4}dr'={\frac {1}{5}}\mathrm {D} f^{5}-{\frac {1}{5}}\int r'^{5}d\mathrm {D} ,\quad \int \mathrm {D} r'^{2}dr'={\frac {1}{3}}\mathrm {D} f^{3}-{\frac {1}{3}}\int r'^{3}d\mathrm {D} \,;$

ce qui donne

$3f^{2}\int \mathrm {D} r'^{2}dr'-5\int \mathrm {D} r'^{4}dr'=\int r'^{3}\left(r'^{2}-f^{2}\right)d\mathrm {D}$

égale à une quantité positive si $d\mathrm {D}$ est négatif, et à une quantité négative si $d\mathrm {D}$ est positif, parce que $r'^{2}<f^{2}\,;$ donc, 2^o si la densité diminue du centre à la circonférence,

$\int \mathrm {D} r'^{4}dr'<{\frac {3}{5}}f^{2}\int \mathrm {D} r'^{2}dr'\,;$

mais si elle augmente,

$\int \mathrm {D} r'^{4}dr'>{\frac {3}{5}}f^{2}\int \mathrm {D} r'^{2}dr'\,;$

ainsi, dans ce dernier cas, la valeur de $\mathrm {F}$ sera contenue entre les limites

${\frac {f^{2}\mathrm {L} }{2c}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {3}{5}}{\frac {f^{2}\mathrm {L} }{2c}}.$

Si la densité était partout la même, on aurait alors

$\mathrm {F} ={\frac {3}{5}}{\frac {f^{2}\mathrm {L} }{2c}}.$

XII.

Scolie III. — On peut au reste déterminer la figure de la Lune par la Théorie, en supposant qu’elle ait été originairement fluide, et qu’elle ait conservé, en se durcissant, la forme qu’elle aurait dû prendre, en vertu de la gravitation mutuelle de ses parties, combinée avec la force centri-