donc, en intégrant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Q} \ \,=&-{\frac {2(\mu '\varpi '-\mu ''\varpi '')}{r}}-\varpi \ \,\int \left(\alpha -\lambda \int {\frac {dt}{r}}\right){\frac {dt}{r^{3}}}+k,\\\mathrm {Q} '\,=&-{\frac {2(\mu \varpi \ \ \,+\mu ''\varpi '')}{r}}+\varpi '\,\int \left(\alpha -\lambda \int {\frac {dt}{r}}\right){\frac {dt}{r^{3}}}+k',\\\mathrm {Q} ''=&-{\frac {2(-\mu \varpi -\mu '\varpi '\ )}{r}}+\varpi ''\int \left(\alpha -\lambda \int {\frac {dt}{r}}\right){\frac {dt}{r^{3}}}+k'',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce83f875ddf97245ddb67b90303ad9d919f13b81)
et
étant des constantes arbitraires.
Faisant toutes ces substitutions dans les équations
et divisant ensuite la seconde par
et la troisième par
elles deviendront celles-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{2dt^{2}}}&-{\frac {\mathrm {A+B+C} (1-\mu '\varpi '+\mu ''\varpi '')}{r}}\\&\qquad \qquad \qquad +\mathrm {C} \varpi \int \left(\alpha -\lambda \int {\frac {dt}{r}}\right){\frac {dt}{r^{3}}}-\mathrm {C} k=0,\\{\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{2dt^{2}}}&-{\frac {\mathrm {A+C+B} \left[1-(\mu \varpi +\mu ''\varpi '')m\right]}{m^{3}r}}\\&\qquad \qquad \qquad -{\frac {\mathrm {B} \varpi '}{m^{2}}}\int \left(\alpha -\lambda \int {\frac {dt}{r}}\right){\frac {dt}{r^{3}}}-{\frac {\mathrm {B} k'}{m^{2}}}=0,\\{\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{2dt^{2}}}&-{\frac {\mathrm {B+C+A} \left[1+(\mu \varpi +\mu '\varpi ')n\right]}{n^{3}r}}\\&\qquad \qquad \qquad -{\frac {\mathrm {A} \varpi ''}{n^{2}}}\int \left(\alpha -\lambda \int {\frac {dt}{r}}\right){\frac {dt}{r^{3}}}-{\frac {\mathrm {A} k''}{n^{2}}}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b653b0d414a73abfbc51c9d331fea149f1b03a)
lesquelles devront être identiques ; de sorte qu’on aura ces conditions à remplir
1
o![{\displaystyle \quad \mathrm {A+B+C} (1-\mu '\varpi '+\mu ''\varpi '')={\frac {\mathrm {A+C+B} \left[1-(\mu \varpi +\mu ''\varpi '')m\right]}{m^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/634c48eed3c3843e147d9497abb617ac0a38be53)
![{\displaystyle ={\frac {\mathrm {B+C+A} \left[1+(\mu \varpi +\mu '\varpi ')n\right]}{n^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ed733947a2c62ba14961991b78215865df36ef)
2
o![{\displaystyle \quad \qquad \mathrm {C} \varpi =-{\frac {\mathrm {B} \varpi '}{m^{2}}}=-{\frac {\mathrm {A} \varpi ''}{n^{2}}}\quad {\text{ou bien}}\quad \alpha =0\quad {\text{et}}\quad \lambda =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08cefed40e66d8a11ce3dce265788632a1fdc0ad)
3
o![{\displaystyle \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {C} k={\frac {\mathrm {B} k'}{m^{2}}}={\frac {\mathrm {A} k''}{n^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81887a22fce5bda4f43d40224875648ba3623ff5)
Ces deux dernières conditions peuvent toujours se remplir par le moyen des constantes indéterminées
et
; ainsi la difficulté ne consiste qu’à satisfaire à celles des groupes 1o et 2o.
Or, si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle \delta =\mu \mu '+\mu \mu ''+\mu '\mu ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ffdfcebe3f9831c085923ee6dbd9c6a1e4339ca)
![{\displaystyle =-{\frac {1}{4}}(1+m+n)(1+m-n)(1-m+n)(1-m-n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c651cc63285f0a5ff98e018931397677cb9d485c)