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on pourra réduire les deux équations du groupe 1^o à celles-ci, par des transformations analogues à celles de l’Article XXVII

$(e)\quad (\mathrm {-C\varpi +B\varpi '-A\varpi ''} )\delta +\mu ''\lambda =0,\ \ (\mathrm {C\varpi +B\varpi '-A\varpi ''} )\delta -\mu '\lambda =0.$

Ainsi il n’y aura qu’à combiner ces deux équations avec celles du groupe 2^o, savoir

$\mathrm {C} \varpi =-{\frac {\mathrm {B} \varpi '}{m^{2}}}=-{\frac {\mathrm {A} \varpi ''}{n^{2}}}\quad {\text{ou bien}}\quad \alpha =0\quad {\text{et}}\quad \lambda =0\,;$

ce qui fait deux cas que nous allons examiner séparément.

XXX.

Soit d’abord

$\mathrm {C} \varpi =-{\frac {\mathrm {B} \varpi '}{m^{2}}}=-{\frac {\mathrm {A} \varpi ''}{n^{2}}}\,;$

donc

$\varpi '=-{\frac {m^{2}\mathrm {C} \varpi }{\mathrm {B} }},\quad {\text{et}}\quad \varpi ''=-{\frac {n^{2}\mathrm {C} \varpi }{\mathrm {A} }}\,;$

mais on a (Article XXIX)

$\varpi -\varpi '-\varpi ''=0\,;$

donc

$\varpi \left(1+{\frac {m^{2}\mathrm {C} }{\mathrm {B} }}+{\frac {n^{2}\mathrm {C} }{\mathrm {A} }}\right)=0,$

savoir

$\varpi \left({\frac {1}{\mathrm {C} }}+{\frac {m^{2}}{\mathrm {B} }}+{\frac {n^{2}}{\mathrm {A} }}\right)=0.$

Or il est visible que la quantité ${\frac {1}{\mathrm {C} }}+{\frac {m^{2}}{\mathrm {B} }}+{\frac {n^{2}}{\mathrm {A} }}$ ne saurait jamais devenir nulle, à cause que les masses $\mathrm {A,B,C}$ sont des quantités positives ; ainsi il faudra que l’on ait $\varpi =0,$ et par conséquent aussi $\varpi '=0,\varpi ''=0\,;$ or, dans ce cas, on aura $\lambda =0,$ et les deux équations $(e)$ ci-dessus auront lieu d’elles-mêmes ; de sorte que toutes les conditions se trouveront remplies, et le Problème des trois Corps sera résoluble exactement dans l’hypothèse de

$\varpi =0,\quad \varpi '=0,\quad \varpi ''=0,$