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quent égale à ce qu’il doit y avoir de constant dans la valeur de ${\frac {d\varphi }{dt}}.$ Or les formules de l’Article XLII donnent, en rejetant $\mathrm {x}$ et $\psi ,$

${\frac {d\varphi }{dt}}={\sqrt {\mathrm {L} }}={\sqrt {1-\alpha ^{2}\left(3\scriptstyle \mathrm {Y} ^{2}\displaystyle -1\right)}},$

et, à cause de $\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle =f\cos pt,$ on aura

$h={\sqrt {1-\left({\frac {3f^{2}}{2}}-1\right)\alpha ^{2}}}=1-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}$ à peu près.

Mais on a aussi

${\frac {p+q}{2}}=1-{\frac {\alpha ^{2}}{4}},$

d’où l’on voit que la position du nœud est fixe, du moins par cette première approximation ; ce qui ne doit pas paraître surprenant, vu que les valeurs de $p$ et $q$ ne peuvent tout au plus être censées exactes qu’aux quantités de l’ordre de $\alpha ^{2}$ près.

Pour savoir maintenant laquelle des deux valeurs

$1\pm \alpha -{\frac {\alpha ^{2}}{4}}$

doit être prise pour $p,$ on remarquera qu’en supposant l’inclinaison de l’orbite nulle on a

$\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle =f\cos pt=\cos pt\,;$

mais on a (Articles XXXIV et XLI)

$\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle =\mathrm {R} z=\mathrm {R} r\cos \zeta ''=\cos \zeta ''\,;$

donc

$\cos pt=\cos \zeta ''\quad {\text{et}}\quad pt=\zeta ''=\varphi -\varphi ',$

puisque $\zeta ''$ n’est autre chose que l’angle compris entre les deux rayons $r$ et $r'\,;$ donc

$p=h-h',$

en nommant $ht$ et $h't$ les valeurs moyennes de $\varphi$ et de $\varphi '\,;$ or on a déjà trouvé $h=1-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}$ et, pour avoir $h',$ on prendra la partie constante de ${\frac {d\varphi '}{dt}},$