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qui est $={\sqrt {\mathrm {M} }}=\alpha \,;$ de sorte que $h'=\alpha ,$ et par conséquent

$p=1-\alpha -{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\,;$

donc

$q=1+\alpha -{\frac {\alpha ^{2}}{4}}.$

Ainsi il faudra toujours avoir soin dans la suite de prendre pour $p$ une valeur telle, que ses deux premiers termes soient $1-\alpha ,$ et pour $q$ une valeur dont les deux premiers termes soient $1+\alpha \,;$ cette remarque est d’autant plus importante que les quantités $p$ et $q$ seront données dorénavant par des équations particulières dont chacune montera cependant au quatrième degré, comme on le verra ci-après.

XLVII.

Ayant trouvé la première valeur approchée de $\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle$ on la substituera dans l’équation $(\zeta )$ qui donne la valeur de $\mathrm {x} ,$ en y négligeant d’abord les termes où $\mathrm {x}$ et $\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle$ sont mêlés ; ce qui la réduit à celle-ci

${\frac {d^{2}\mathrm {x} }{dt^{2}}}+\left(1+4\alpha ^{2}\right)\mathrm {x} -\alpha ^{2}\left[9\scriptstyle \mathrm {Y} ^{2}\displaystyle -3\left(\int \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle dt\right)^{2}\right]=\mathrm {const} .\,;$

or, puisque

$\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle =f\cos pt+g\cos qt,$

on aura, en négligeant les $g^{2},$

${\begin{aligned}\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle =&f^{2}\cos ^{2}pt+2fg\cos pt\cos qt\\=&{\frac {1}{2}}f^{2}(1+\cos 2pt)+fg\left[\cos(p+q)t+\cos(p-q)t\right],\end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}\int \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle dt=&{\frac {f\sin pt}{p}}+{\frac {g\sin qt}{q}},\\\left(\int \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle dt\right)^{2}=&{\frac {f^{2}}{p^{2}}}\sin ^{2}pt+{\frac {2fg}{pq}}\sin pt\sin qt\\=&{\frac {f^{2}}{2p^{2}}}(1-\cos 2pt)-{\frac {fg}{pq}}\left[\cos(p+q)t-\cos(p-q)t\right]\,;\end{aligned}}$