donc, substituant ces valeurs, et rejetant tous les termes constants, à cause qu’il ne doit y en avoir aucun dans la valeur de 
par l’hypothèse, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {x} }{dt^{2}}}&+\left(1+4\alpha ^{2}\right)\mathrm {x} -{\frac {3\alpha ^{2}f^{2}\left(3p^{2}+1\right)}{2p^{2}}}\cos 2pt\\&-{\frac {3\alpha ^{2}fg}{pq}}\left[(3pq+1)\cos(p+q)t+(3pq-1)\cos(p-q)t\right]=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9229a87ecaa2c7187d65d3ebd76c127f579885e)
Ainsi la valeur de sera de cette forme
![{\displaystyle \mathrm {x} =a\cos mt+\alpha ^{2}f^{2}A\cos 2pt+\alpha ^{2}fg\left[B\cos(p+q)t+B_{1}\cos(p-q)t\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067116f11895554c4cff96cbc99fc4c6fc8c6dd8)
et, la substitution faite, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&\cos mt.\left(-m^{2}+1+4\alpha ^{2}\right)\\&+\alpha ^{2}f^{2}\cos 2pt\left[A\left(-4p^{2}+1+4\alpha ^{2}\right)-{\frac {3\left(3p^{2}+1\right)}{2p^{2}}}\right]\\&+\alpha ^{2}fg\cos(p+q)t\left[B\ \left[-(p+q)^{2}+1+4\alpha ^{2}\right]-{\frac {3\left(3pq+1\right)}{pq}}\right]\\&+\alpha ^{2}fg\cos(p-q)t\left[B_{1}\left[-(p-q)^{2}+1+4\alpha ^{2}\right]-{\frac {3\left(3pq-1\right)}{pq}}\right]=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463ceed39f187680effec5d92f04ca84a08919a0)
Donc, égalant à zéro les coefficients de chaque cosinus, on aura les équations suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}&-m^{2}+1+4\alpha ^{2}=0,\\&A\ \left[-4p^{2}+1+4\alpha ^{2}\right]-{\frac {3\left(3p^{2}+1\right)}{2p^{2}}}=0,\\&B\ \left[-(p+q)^{2}+1+4\alpha ^{2}\right]-{\frac {3\left(3pq+1\right)}{pq}}=0,\\&B_{1}\left[-(p-q)^{2}+1+4\alpha ^{2}\right]-{\frac {3\left(3pq-1\right)}{pq}}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47eb371cb76d1a7142ad9b0f4cbba2a2dc98fac6)
