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d’où l’on tire

${\begin{aligned}m\ &={\sqrt {1+4\alpha ^{2}}},\\A\ &={\frac {3\left(3p^{2}+1\right)}{2p^{2}\left(-4p^{2}+1+4\alpha ^{2}\right)}}=-2\quad \mathrm {{\grave {a}}\ peu\ pr{\grave {e}}s} ,\\B\ &={\frac {3\left(3pq+1\right)}{pq\left[-(p+q)^{2}+1+4\alpha ^{2}\right]}}=-4,\\B_{1}&={\frac {3\left(3pq-1\right)}{pq\left[-(p-q)^{2}+1+4\alpha ^{2}\right]}}=6.\end{aligned}}$

La constante $a,$ qui est demeurée indéterminée, dépend de l’excentricité de l’orbite lunaire, et doit par conséquent être fixée par les observations.

Ainsi l’angle $mt$ représentera l’anomalie moyenne de la Lune, c’est-à-dire, sa distance à l’apogée ; de sorte que $(h-m)t$ sera la longitude moyenne de l’apogée, $ht$ étant, comme plus haut, celle du lieu de la Lune mais, comme nous avons négligé dans l’équation $(\zeta )$ des termes où $\mathrm {x}$ se trouve multiplié par $\alpha ^{2},$ on doit s’attendre à ce que la valeur de $m$ ne sera exacte qu’aux quantités de l’ordre de $\alpha ^{2}$ près ; c’est pourquoi on aura dans cette première approximation $m=1$ et $m-h=0,$ en rejetant les $\alpha ^{2}\,;$ ce qui donnerait les apsides fixes.

Venons maintenant à l’équation $(\varepsilon )$ qui donne la valeur de $\mathrm {X} \,;$ et comme cette quantité ne doit contenir aucun terme tout constant, il est clair qu’on aura simplement

${\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}}+\alpha ^{2}\mathrm {X} =0,$

et que la valeur de $\mathrm {X}$ sera de cette forme

$\mathrm {X} =b\cos nt,$

d’où l’on trouvera, par la substitution,

$-n^{2}+\alpha ^{2}=0,\quad n=\alpha .$

Le coefficient indéterminé $b$ dépend de l’excentricité de l’orbite du Soleil, et $nt$ est par conséquent l’angle de l’anomalie moyenne : de sorte