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que $(n-h')t$ sera la longitude de l’apogée du Soleil, qui est ici nulle à cause que $h'=\alpha ,\quad n=\alpha .$

XLVIII.

Puisque l’on connaît déjà la forme des premiers termes des valeurs $\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle ,\mathrm {x}$ et $\mathrm {X} ,$ on pourra aisément trouver les suivants et rectifier en même temps les coefficients de ceux qu’on a déjà trouvés ; pour cela, il n’y aura qu’à substituer dans les termes négligés des équations proposées les valeurs qu’on vient de trouver, et l’on aura la forme des termes qu’il faudra introduire dans les nouvelles valeurs de $\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle ,\mathrm {x}$ et $\mathrm {X} \,;$ on donnera à tous les termes des coefficients indéterminés, et, la substitution faite, on fera égaux à zéro les termes analogues, c’est-à-dire, ceux qui renferment les mêmes cosinus ; on aura par là autant d’équations qu’il en faudra pour la détermination de tous les coefficients.

Ainsi, reprenant l’équation $(\eta )$ et substituant dans les termes qui renferment $\mathrm {x}$ et $\mathrm {X}$ les valeurs de $\mathrm {x,X}$ et $\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle$ trouvées ci-dessus, il viendra des termes de la forme

${\begin{array}{ll}af\cos(p\pm m)t,&ag\cos(q\pm m)t,\\\alpha ^{2}f^{2}\cos(2p\pm p)t,&\alpha ^{2}f^{2}g\cos(2p\pm q)t,\\\alpha ^{2}f^{2}g\cos(p\pm q\pm p)t,&\alpha ^{2}f^{2}g\cos(p\pm q\pm q)t,\\bf\cos(p\pm n)t,&bg\cos(q\pm n)t\,;\end{array}}$

on supposera donc

${\begin{aligned}\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle =f\cos pt&+g\cos qt+afP\cos(p+m)t+afP_{1}\cos(p-m)t\\&+agQ\cos(q+m)t+agQ_{1}\cos(q-m)t+\ldots ,\end{aligned}}$

et, prenant pour $\mathrm {x}$ et $\mathrm {X}$ les expressions de l’Article XLVII on aura l’équation suivante, dans laquelle j’ai négligé les quantités affectées de $\alpha ^{2},$ de $a\alpha ^{2}$ et de $\alpha ^{4},$ à cause que l’on a négligé dans l’équation $(\eta )$ les termes