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où $\mathrm {x}$ se trouvait à la seconde dimension,

${\begin{aligned}&\cos pt\left[f\left(-p^{2}+2+\alpha ^{2}-{\frac {1-3\alpha ^{2}}{p^{2}}}\right)-{\frac {3\alpha ^{2}f^{3}A}{4}}\left(1-1-{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1-3\alpha ^{2}}{p^{2}}}\right)\right]\\+&\cos qt\left[g\left(-q^{2}+2+\alpha ^{2}-{\frac {1-3\alpha ^{2}}{q^{2}}}\right)-{\frac {3\alpha ^{2}f^{2}gB}{4}}\left(1-{\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{2}}}+{\frac {1-3\alpha ^{2}}{pq}}\right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {3\alpha ^{2}f^{2}gB_{1}}{4}}\left(1+{\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{2}}}-{\frac {1-3\alpha ^{2}}{pq}}\right)\right]\\+&\cos(p+m)t\left[afP\ \left(-(p+m)^{2}+2+\alpha ^{2}-{\frac {1-3\alpha ^{2}}{(p+m)^{2}}}\right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {3af}{4}}\left(1+{\frac {p}{p+m}}-{\frac {1}{(p+m)^{2}}}-{\frac {1-3\alpha ^{2}}{p(p+m)}}\right)\right]\\+&\cos(p-m)t\left[afP_{1}\left(-(p-m)^{2}+2+\alpha ^{2}-{\frac {1-3\alpha ^{2}}{(p-m)^{2}}}\right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {3af}{4}}\left(1+{\frac {p}{p-m}}-{\frac {1}{(p-m)^{2}}}-{\frac {1-3\alpha ^{2}}{p(p-m)}}\right)\right]\\+&\cos(q+m)t\left[agQ\ \left(-(q+m)^{2}+2+\alpha ^{2}-{\frac {1-3\alpha ^{2}}{(q+m)^{2}}}\right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {3ag}{4}}\left(1+{\frac {q}{q+m}}-{\frac {1}{(q+m)^{2}}}-{\frac {1-3\alpha ^{2}}{q(q+m)}}\right)\right]\\+&\cos(q-m)t\left[agQ_{1}\left(-(q-m)^{2}+2+\alpha ^{2}-{\frac {1-3\alpha ^{2}}{(q-m)^{2}}}\right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {3ag}{4}}\left(1+{\frac {q}{q-m}}-{\frac {1}{(q-m)^{2}}}-{\frac {1-3\alpha ^{2}}{(q-m)^{2}}}\right)\right]+\ldots =0.\end{aligned}}$

On égalera donc à zéro les coefficients de ces différents cosinus, et l’on aura :

1^o $\qquad \qquad \qquad -p^{2}+2+\alpha ^{2}-{\frac {1-3\alpha ^{2}}{p^{2}}}=0$

équation d’où l’on tirera la même valeur de $p$ que ci-dessus (Article XLV), de sorte qu’on aura

$p=1-\alpha -{\frac {\alpha ^{2}}{4}},$

et l’on sera maintenant assuré que cette valeur est exacte jusqu’aux quantités de l’ordre de $\alpha ^{2}$ inclusivement ;

2^o $\quad -q^{2}+2+\alpha ^{2}-{\frac {1-3\alpha ^{2}}{q^{2}}}-{\frac {3\alpha ^{2}f^{2}(B+B_{1})}{4}}\left(1-{\frac {1}{q^{2}}}\right)$

$+{\frac {3\alpha ^{2}f^{2}(B-B_{1})}{4}}{\frac {p^{2}-1+3\alpha ^{2}}{4}}=0\,;$

or, comme nous négligeons les quantités de l’ordre de $\alpha ^{4},$ on aura (en mettant pour $p$ et $q$ leurs valeurs approchées)

${\frac {p^{2}-1+3\alpha ^{2}}{pq}}=-2\alpha ,$