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où la Lune s’est trouvée à peu près dans les mêmes circonstances, a trouvé le mouvement séculaire de la Lune de $10^{\text{S}}7^{\circ }49'52''\,;$ or, si le mouvement moyen de la Lune était tout à fait uniforme, il est clair qu’on devrait toujours trouver le même résultat en comparant ensemble d’autres observations ; mais on a reconnu dans ces derniers temps que les observations arabes, dont on a parlé ci-dessus, comparées avec les observations de ce siècle, donnent environ $2'36''{\tfrac {1}{2}}$ de plus pour le mouvement séculaire de la Lune. M. de la Lande, dans les Mémoires de l’Académie, année 1757, trouve qu’en employant le mouvement moyen qui résulte des observations arabes, la longitude de la Lune dans l’éclipse de 720 avant J.-C. est moindre de $1^{\circ }27'$ que l’observation ne l’a donnée ; or, comme M. de la Lande suppose le milieu de cette éclipse $47$ minutes plus tôt que M. Cassini, il s’ensuit qu’il faut ôter de $1^{\circ }27'$ le mouvement relatif de la Lune au Soleil pendant $47$ minutes, lequel est de $23'52''\,;$ ainsi l’on aura $1^{\circ }3'8'',$ qui, étant partagés en $24{\tfrac {1}{5}},$ nombre des siècles écoulés entre l’observation dont il s’agit et 1700, donne $2'36''{\tfrac {1}{2}},$ dont le mouvement moyen séculaire est plus grand, parce que, comme en remontant on avance contre l’ordre des signes, une longitude moindre indique un plus grand espace parcouru. C’est ce qui a engagé les Astronomes à appliquer au mouvement moyen une équation séculaire propre à sauver cette différence.

5. En effet, soit $x$ le mouvement séculaire moyen dont la marche est uniforme, et $y$ l’équation séculaire, que nous supposerons d’abord proportionnelle au carré du temps ; et, prenant le commencement de ce siècle pour époque, on aura, après $m$ siècles, le mouvement moyen $=mx+m^{2}y\,;$ par conséquent, en faisant $m$ négatif, on aura, pour $m$ siècles comptés en arrière, le mouvement moyen $=-mx+m^{2}y.$ Soit maintenant $\alpha$ le mouvement séculaire moyen trouvé par M. Cassini d’après l’éclipse de 720 avant J.-C. et $\alpha +\beta$ le mouvement séculaire moyen trouvé d’après les observations arabes de 977 et 978 ; et comme, entre les années 720 avant J.-C. et 1700, il s’est écoulé $24{\tfrac {1}{5}}$ siècles, et que, entre les années 978 et 1700, il s’est écoulé environ $7{\tfrac {1}{5}}$ siècles, on