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aura $-\left(24{\tfrac {1}{5}}\right)\alpha$ et $-\left(7{\tfrac {1}{5}}\right)(\alpha +\beta )$ pour les mouvements moyens qui se rapportent aux années 720 avant J.-C. et 978 donc, si l’on veut que la formule $-mx+m^{2}y$ satisfasse à la fois aux observations de ces années, il n’y aura qu’à supposer successivement $m=24{\tfrac {1}{5}},\ =7{\tfrac {1}{5}},$ et former ensuite les équations

${\begin{aligned}-\left(24{\tfrac {1}{5}}\right)x+\left(24{\tfrac {1}{5}}\right)^{2}y=&-\left(24{\tfrac {1}{5}}\right)\alpha ,\\-\left(\ \ 7{\tfrac {1}{5}}\right)x+\left(\ \ 7{\tfrac {1}{5}}\right)^{2}y=&-\left(\ \ 7{\tfrac {1}{5}}\right)(\alpha +\beta ),\end{aligned}}$

c’est-à-dire,

$x-\left(24{\tfrac {1}{5}}\right)y=\alpha ,\quad x-\left(7{\tfrac {1}{5}}\right)y=\alpha +\beta \,;$

d’où l’on tire

$y={\frac {\beta }{17}},\quad x=\alpha +\left(24{\tfrac {1}{5}}\right)y=\alpha +\left(24{\tfrac {1}{5}}\right){\frac {\beta }{17}}.$

Or on a trouvé $\alpha =10^{\text{S}}7^{\circ }49'52''$ et $\beta =2'36''{\tfrac {1}{2}}\,;$ donc on aura

$y=9''{,}2,\quad {\text{et de là}}\quad x=10^{\text{S}}7^{\circ }53'34''{,}64\,;$

ce qui s’accorde à très-peu près avec les éléments que M. Mayer a employés dans ses dernières Tables, où il fait le mouvement séculaire moyen de $10^{\text{S}}7^{\circ }53'35'',$ et l’équation séculaire de $9$ secondes pour le premier siècle, à compter depuis 1700.

6. Supposons maintenant que l’équation séculaire ne soit pas constamment proportionnelle au carré du temps, mais qu’elle dépende du sinus d’un angle qui varie peu, en sorte qu’elle ne suive la loi du carré que pendant un certain espace de temps ; soit $\mathrm {A+\mu Z}$ cet angle, $\mathrm {Z}$ étant, comme ci-dessus, le mouvement moyen de la Lune, et $\mu$ étant un coefficient très-petit, de manière que l’angle $\mu \mathrm {Z}$ demeure encore très-petit vis-à-vis de l’angle fini ; et comptant $\mathrm {A}$ au bout d’un grand nombre de révolutions de la Lune, on aura pendant cet intervalle de temps

$\mathrm {\sin(A+\mu Z)=\sin A+\mu Z\cos A-{\frac {\mu ^{2}Z^{2}}{2}}\sin A}$

à très-peu près ; d’où l’on tire

$\mathrm {Z^{2}={\frac {2Z\cos A}{\mu \sin A}}+{\frac {2\left[\sin A-\sin(A+\mu Z)\right]}{\mu ^{2}\sin A}}} \,;$