Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/344

de sorte que l’équation séculaire apparente $i\mathrm {Z} ^{2}$ sera véritablement représentée par la formule

${\frac {2i}{\mu \sin \mathrm {A} }}\mathrm {\left[Z\cos A+{\frac {\sin A-\sin(A+\mu Z)}{\mu }}\right]} ,$

et par conséquent s’éloignera à la longue de la loi du carré du temps.

7. Voyons donc quelle doit être, dans cette hypothèse, la valeur du coefficient $i,$ pour satisfaire aux mêmes données du n^o 4. Soit $\theta$ la quantité de l’angle $\mu \mathrm {Z}$ au bout d’un siècle, on aura au bout de $m$ siècles $\mu =m\theta \,;$ donc

$\mathrm {Z} ={\frac {m\theta }{\mu }}\,;$

ainsi l’équation séculaire sera, pour $m$ siècles,

${\frac {2i}{\mu ^{2}\sin \mathrm {A} }}\mathrm {\left[m\theta \cos A+\sin A-\sin(A+m\theta )\right]} \,;$

lorsque $m=1,$ cette quantité devient (à cause de $\theta$ très-petit) ${\frac {i\theta ^{2}}{\mu ^{2}}},$ qui sera donc la quantité de l’équation séculaire pour le premier siècle. Nommons donc, comme ci-dessus, $y$ cette valeur de l’équation séculaire et $x$ le mouvement séculaire moyen ; on aura, après $m$ siècles, le mouvement moyen égal à

$mx+{\frac {2y}{\theta ^{2}\sin \mathrm {A} }}\mathrm {\left[m\theta \cos A+\sin A-\sin(A+m\theta )\right]} .$

Faisant donc successivement $m=-24{\tfrac {1}{5}}$ et $=-7{\tfrac {1}{5}},$ pour avoir les mouvements moyens qui répondent aux années 720 avant J.-C. et 978, on formera ces deux équations

${\begin{aligned}&-\left(24{\tfrac {1}{5}}\right)x+{\frac {2y}{\theta ^{2}\sin \mathrm {A} }}\mathrm {\left[-\left(24{\tfrac {1}{5}}\right)\theta \cos A+\sin A-\sin \left[A-\left(24{\tfrac {1}{5}}\right)\theta \right]\right]} \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =-\left(24{\tfrac {1}{5}}\right)\alpha ,\\&-\left(\ \ 7{\tfrac {1}{5}}\right)x+{\frac {2y}{\theta ^{2}\sin \mathrm {A} }}\mathrm {\left[-\left(\ \ 7{\tfrac {1}{5}}\right)\theta \cos A+\sin A-\sin \left[A-\left(\ \ 7{\tfrac {1}{5}}\right)\theta \right]\right]} \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =-\left(\ \ 7{\tfrac {1}{5}}\right)(\alpha +\beta )\,;\end{aligned}}$