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Et de là on trouvera

${\begin{aligned}v=&{\frac {\mathrm {L} \cos 2(\xi +\eta )}{4\varpi ^{2}-n^{2}}}+{\frac {\mathrm {M} \cos(\xi +\eta )}{\varpi ^{2}-n^{2}}}+{\frac {\mathrm {N} \cos 3(\xi +\eta )}{9\varpi ^{2}-n^{2}}}\\&+{\frac {\mathrm {P} \cos 2z}{4q^{2}-n^{2}}}+{\frac {\mathrm {Q} \sin z}{q^{2}-n^{2}}}+{\frac {\mathrm {R} \sin 3z}{9q^{2}-n^{2}}}+{\frac {\mathrm {S} \cos \left[2(\xi +\eta )-s\right]}{(2\varpi -p)^{2}-n^{2}}}\\&+{\frac {\mathrm {T} \cos(\xi +\eta -s)}{(\varpi -p)^{2}-n^{2}}}+{\frac {\mathrm {V} \cos(2z-s)}{(2q-p)^{2}-n^{2}}}+{\frac {\mathrm {X} \sin(z-s)}{(q-p)^{2}-n^{2}}}.\end{aligned}}$

29. Il ne s’agit plus maintenant que de substituer à la place de $u$ sa valeur $1+e\cos s+v,$ dans la quantité ${\frac {\Pi }{u^{3}}},$ c’est-à-dire (n^o 25), dans celle-ci ${\biggl (}x{\biggr .}$ étant $\left.={\frac {1}{u}}\right)$

${\begin{aligned}&-{\frac {9\varepsilon ^{2}}{8\nu ^{2}u^{4}}}\sin 2(\xi +\eta )-{\frac {3\varepsilon \left(1+{\cfrac {3\varepsilon ^{2}}{4}}\right)}{4\nu ^{2}\lambda u^{5}}}\sin(\xi +\eta )\\&-{\frac {15\varepsilon ^{2}}{16\nu ^{2}\lambda u^{5}}}\sin 3(\xi +\eta )+\mathrm {C} u\sin 2z-{\frac {\mathrm {D} u^{2}}{2}}\cos z-{\frac {3\mathrm {E} }{2}}u^{2}\cos 3z,\end{aligned}}$

et de tenir compte uniquement des termes qui contiendront des sinus ou cosinus de l’angle $\xi +\nu -z$ ou de ses multiples quelconques (n^o 23) ; nous allons pour cela examiner séparément chacun des termes de la quantité dont il s’agit, et nous supposerons, pour abréger, l’angle $\xi +\nu -z$ égal à $\alpha ,$ ainsi qu’on l’a déjà fait plus haut. Et :

1^o Il est clair que le terme

$-{\frac {9\varepsilon ^{2}}{8\nu ^{2}u^{4}}}\sin 2(\xi +\eta )$

pourra donner un terme de la forme $\sin 2\alpha ,$ pourvu que la quantité ${\frac {1}{u^{4}}}$ en contienne un de la forme $\cos 2z\,;$ or

${\frac {1}{u^{4}}}=1-4(e\cos s+v)+10(e\cos s+v)^{2}-\ldots \,;$

ainsi l’on aura d’abord dans la valeur de ${\frac {1}{u^{4}}},$ en vertu du terme $-4v,$ celui-ci

$-{\frac {4\mathrm {P} }{4q^{2}-n^{2}}}\cos 2z\,;$