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quantité à défalquer de l’altération de la révolution anomalistique, pour avoir celle de la révolution périodique, sera le temps qui répond à l’angle ou à l’anomalie vraie $\delta \varepsilon ''-\delta \varepsilon '.$

Pour trouver ce temps, on pourra employer la formule différentielle (n^o 21)

$dt={\frac {r^{2}d\varphi }{\sqrt {2h(1+m)}}},$

en faisant $d\varphi =\delta \varepsilon ''-\delta \varepsilon '$ et $r$ égal à la distance périhélie dans l’orbite non altérée, laquelle est

${\frac {a-ae}{2}}={\frac {a}{2}}(1-e)={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{2(1+e)}}={\frac {2h}{1+e}},$

de sorte qu’on aura, pour le temps cherché, la quantité

$\left({\frac {2h}{1+e}}\right)^{2}{\frac {\delta \varepsilon ''-\delta \varepsilon '}{\sqrt {2h(1+m)}}}.$

Donc la durée de la révolution périodique de la comète dans l’orbite troublée, c’est-à-dire, le temps qu’elle mettra à faire une révolution entière depuis son départ du périhélie jusqu’à ce qu’elle revienne sur la ligne du même périhélie, surpassera le temps de la révolution entière, dans l’orbite non altérée, de la quantité

${\sqrt {\frac {a^{3}}{8(1+m)}}}(\delta \theta '-\delta \theta '')-\left({\frac {2h}{1+e}}\right)^{2}{\frac {\delta \varepsilon ''-\delta \varepsilon '}{\sqrt {2h(1+m)}}},$

laquelle, en substituant pour $\delta \theta '$ et $\delta \theta ''$ leurs valeurs déduites de la formule du n^o 38, et dénotant par $\delta a',\delta i'$ et par $\delta a'',\delta i''$ les valeurs de $\delta a,\delta i,$ qui répondent à $t=t'$ et $t=t'',$ se réduit à celle-ci

${\frac {3(t''\delta a''-t'\delta a')}{2a}}-{\sqrt {\frac {a^{3}}{8(1+m)}}}(\delta i''-\delta i')-\left({\frac {2h}{1+e}}\right)^{2}{\frac {\delta \varepsilon ''-\delta \varepsilon '}{\sqrt {2h(1+m)}}}.$

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