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cune de ces valeurs. C’est de quoi l’on peut se convaincre aisément par l’inspection d’une figure parabolique quelconque qui aurait différents maximum et minimum.

Or je dis que, si $r>(2+\mu )h,$ la quantité $\Phi$ n’aura ni maximum ni minimum lorsque $\nu$ sera impair, et qu’elle aura un seul minimum au périhélie où $\varphi =180^{\circ }$ lorsque $\mu$ sera pair. En effet, à cause de

$r={\frac {2h}{1+f\cos \varphi }},$

on aura

$\cos \varphi ={\frac {1}{f}}\left({\frac {2h}{r}}-1\right)\,;$

en sorte que, si $r>(2+\mu )h,$ $\cos \varphi$ sera négatif et ne changera point de signe, mais $\sin \varphi$ sera positif en deçà de l’aphélie et deviendra négatif au delà. Or

$\Phi ={\sqrt {\alpha ^{3}h}}{\frac {\cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi }{2\mathrm {N} r^{2}}}={\frac {\sqrt {\alpha ^{3}h}}{(-f)^{\mu }2\mathrm {N} }}\left(1-{\frac {2h}{r}}\right)^{\mu }{\frac {\sin ^{\nu }\varphi }{r^{2}}}\,;$

mais la quantité

${\frac {1}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2h}{r}}\right)^{\mu }$

diminue à mesure que $r$ augmente, et vice versâ, du moins tant que $r>(\mu +2)h,$ puisque sa différentielle est

$-2\left(1-{\frac {2h}{r}}\right)^{\mu -1}\left[1-{\frac {(\mu +2)h}{r}}\right]{\frac {dr}{r^{3}}}\,;$

donc, si $r$ est impair, la quantité

$\left(1-{\frac {2h}{r}}\right)^{\mu }{\frac {\sin ^{\nu }\varphi }{r^{2}}}$

ira en diminuant jusqu’à l’aphélie où elle sera nulle, et continuera à diminuer au delà de l’aphélie où elle sera négative ; mais, si $\nu$ est pair, la même quantité, après avoir diminué jusqu’à l’aphélie, augmentera de nouveau au delà de l’aphélie, en demeurant toujours positive.

Donc, si l’on suppose que la partie supérieure de l’orbite commence