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au point où $\varphi =\varphi ',\ r=r',$ et finisse au point semblablement situé au delà de l’aphélie où $\varphi =360^{\circ }-\varphi '$ et $r=r',$ on aura, pourvu que $r'>(2+\mu )h,$

$(\Phi )={\sqrt {\alpha ^{3}h}}{\frac {\cos ^{\mu }\varphi '\sin ^{\nu }\varphi '}{\mathrm {N} r'^{2}}}$

si $\nu$ est impair, et

$(\Phi )={\sqrt {\alpha ^{3}h}}\left[{\frac {\cos ^{\mu }\varphi '\sin ^{\nu }\varphi '}{\mathrm {N} r'^{2}}}-{\frac {\cos ^{\mu }180^{\circ }\sin ^{\nu }180^{\circ }}{\mathrm {N} \left({\cfrac {a(1+e)}{2}}\right)^{2}}}\right]$

si $\nu$ est pair, ${\frac {a(1+e)}{2}}$ étant la valeur de $r$ dans l’aphélie.

À l’égard de la condition de $r'>(2+\mu )h,$ comme nous avons vu (n^o 51) que $\mu$ ne peut être $>5$ pour les premiers termes de $\Pi '$ et $\varpi ',$ auxquels il suffire le plus souvent d’avoir égard, il est clair que cette condition aura toujours lieu dans la partie supérieure de l’orbite où l’on suppose $r$ beaucoup plus grand que ${\frac {\alpha }{2}},$ puisque pour Jupiter et Saturne, qui sont les seules planètes qu’on ait à considérer dans la Théorie des perturbations des comètes, on a à peu près ${\frac {\alpha }{2}}=5$ ou $9{\tfrac {1}{2}}.$

54. Si les limites $\pm (\Phi )$ n’étaient pas assez petites, en sorte qu’on ne crût pas pouvoir négliger les quantités renfermées entre ces limites, on pourrait les resserrer davantage de la manière suivante.

Les deux différentielles

$\cos \mathrm {N} \upsilon d\Phi ,\quad \sin \mathrm {N} \upsilon d\Phi ,$

étant mises sous la forme

${\frac {d\Phi }{d\varphi }}\cos \mathrm {N} \upsilon d\varphi ,\quad {\frac {d\Phi }{d\varphi }}\sin \mathrm {N} \upsilon d\varphi ,$

se changent, par la substitution de ${\frac {d\upsilon {\sqrt {\alpha ^{3}h}}}{2r^{2}}}$ à $d\varphi ,$ et par la supposition de ${\frac {\sqrt {\alpha ^{3}h}}{2\mathrm {N} r^{2}}}{\frac {d\Phi }{d\varphi }}=\Phi ',$ en celles-ci

$-\Phi 'd\cos \mathrm {N} \upsilon ,\quad \Phi 'd\sin \mathrm {N} \upsilon ,$