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dont l’intégrale est

$-\Phi '\cos \mathrm {N} \upsilon +\int \cos \mathrm {N} \upsilon d\Phi ',\quad \Phi '\sin \mathrm {N} \upsilon -\int \sin \mathrm {N} \upsilon d\Phi '\,;$

et l’on pourra appliquer aux quantités

$\int \cos \mathrm {N} \upsilon d\Phi ',\quad \int \sin \mathrm {N} \upsilon d\Phi '$

les mêmes raisonnements que nous avons faits dans le numéro précédent ainsi, dénotant par $(\Phi ')$ la valeur totale de l’intégrale de $d\Phi ',$ prise comme nous l’avons dit dans ce numéro, on aura de nouveau $\pm (\Phi ')$ pour les limites entre lesquelles seront renfermées les valeurs des quantités dont il s’agit.

Or il est facile de se convaincre que la quantité $\Phi '$ est nécessairement beaucoup plus petite que la quantité $\Phi$ lorsque $r^{2}$ est assez grand vis-à-vis de ${\sqrt {\alpha ^{3}h}}\,;$ ainsi, en négligeant les intégrales renfermées entre ces dernières limites, on commettra une erreur bien plus petite que celle qui pourrait résulter de l’omission des intégrales renfermées dans les limites du numéro précédent.

On voit par là comment on pourrait s’y prendre pour pousser cette approximation plus loin, et diminuer à volonté l’erreur résultant des intégrales qu’on négligerait ; mais il suffira, dans la plupart des cas, de s’en tenir à l’approximation du numéro précédent.

55. Il nous reste encore à examiner les termes multipliés par l’angle $t$ dans la différentielle $d\,\delta i,$ termes que nous avons expressément exceptés (n^o 51). Or on voit, par la valeur générale de $d\,\delta i$ du n^o 37 (Section précédente), que les termes dont il s’agit ne peuvent venir que du terme

$3t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {d\,\delta a}{a}}\,;$

il suffit donc de considérer ce terme et d’en chercher l’intégrale, en supposant que l’on mette dans la valeur de $d\,\delta a$ les quantités $\mathrm {X',Y',Z'}$ à la place des quantités $\mathrm {X,Y,Z}$ (n^o 48).