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Ce qui donne, en intégrant, après avoir mis $\varpi$ au lieu de $\pi$^[1],

(9)

$\left\{{\begin{aligned}\varepsilon =\eta &-{\frac {\mathrm {H+2K} }{2(1+\mu )\mathrm {H} }}{\frac {d\pi }{\sin \varpi d\mathrm {V} }}+3{\frac {(\mathrm {2K-H} )\cos \varpi -\mathrm {M} }{4(1+\mu )\mathrm {H} }}\mathrm {V} \\&+3{\frac {(\mathrm {2K-H} )\cos \varpi -\mathrm {M} }{4(1+\mu )(\mu -p)\mathrm {H} }}{\frac {\cos \varpi }{\sin \varpi }}i\sin(\zeta -\varepsilon )\\&-3{\frac {\mathrm {N} i\cos \varpi }{4(1+\mu )(\mu -p)\mathrm {H} \sin \varpi }}\cos(\zeta -\varepsilon ),\end{aligned}}\right.$

$\eta$ étant égal à

$\varepsilon '-3{\frac {(\mathrm {2K-H} )\cos \varpi -\mathrm {M} }{4(1+\mu )(\mu -p)\mathrm {H} }}{\frac {\cos \varpi }{\sin \varpi }}i\sin(\zeta '-\varepsilon ')$

$-3{\frac {\mathrm {N} i\cos \varpi }{4(1+\mu )(\mu -p)\mathrm {H} \sin \varpi }}\cos(\zeta '-\varepsilon ').$

On remarquera que la valeur de ${\frac {d\pi }{d\mathrm {V} }}$ peut être négligée, parce qu’elle ne contiendra pas le diviseur $\mu -p$ qui se trouve dans les autres termes.

XXV.

Conséquences qui résultent des formules précédentes (8), (9), par rapport
à la précession des équinoxes et à la nutation de l’axe de la Lune.

Si l’on fait, ce qui est permis,

$\mathrm {H-2K+M} =h\cos g,\quad \mathrm {N} =h\sin g,$

savoir

$h=\mathrm {\sqrt {(H-2K+M)^{2}+N^{2}}} ,\quad \operatorname {tang} g=\mathrm {\frac {N}{H-2K+M}} ,$

et qu’on mette $1$ au lieu de $\cos \varpi ,$ on aura, en négligeant $\mu$ vis-à-vis de $1,$

$\pi =\varpi -{\frac {3hi}{4(\mu -p)\mathrm {H} }}\cos(\zeta -\varepsilon +g)+{\frac {3\mathrm {N} \sin \varpi }{4\mathrm {H} }}\mathrm {V} ,$

$\varepsilon =\eta -\mathrm {{\frac {3(H-2K+M)}{4H}}V} -{\frac {3hi}{4(\mu -p)\mathrm {H} \sin \varpi }}\sin(\zeta -\varepsilon +g)$^[2].

1. Le procédé d’intégration employé ici par Lagrange est tout à fait défectueux ; la substitution de $\varpi$ à $\pi ,$ avant l’intégration, ne saurait effectivement être regardée comme légitime.
   (Note de l’Éditeur.)
2. Il y $a,$ dans le texte primitif, plusieurs fautes de signes qui ont peu d’importance nous avons cru devoir toutefois les faire disparaître.$\qquad \qquad \qquad \ \$(Note de l’Éditeur.)