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PROPOSITION II.

Problème.

10. Étant donnée une suite de termes dont les valeurs soient connues, trouver si cette suite est récurrente, et déterminer dans ce cas la forme générale de ses termes.

Soient les termes donnés et connus

$\mathrm {T,\ \ T',\ \ T'',\ \ T''',\ \ T^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} ,\ldots \,;$

on en formera la série

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots ,$

que je supposerai égale à $s,$ pour abréger ; et il n’y aura qu’à chercher si cette série peut résulter du développement d’une fonction rationnelle quelconque, où la plus haute puissance de $x$ dans le numérateur soit moindre que dans le dénominateur.

Supposons d’abord que la série proposée soit récurrente du premier ordre ; on aura, dans ce cas,

$s={\frac {a'}{a+bx}}\,;$

donc

${\frac {1}{s}}={\frac {a+bx}{a'}}=p+qx,$

d’où il s’ensuit que, si l’on divise l’unité par le polynôme $s,$ en ordonnant dans l’opération les termes suivant les puissances de $x,$ on trouvera nécessairement un quotient fini de deux termes $p+qx.$

Supposons ensuite que la série proposée soit récurrente du second ordre ; on aura, dans ce cas,

$s={\frac {a'+b'x}{a+bx+cx^{2}}}\,;$

donc

${\frac {1}{s}}={\frac {a+bx+cx^{2}}{a'+b'x}}\,;$