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qu’on divise le numérateur trinôme $a+bx+cx^{2}$ par le dénominateur binôme $a'+b'x,$ on aura un quotient binôme $p+qx$ et un reste $a''x^{2}\,;$ donc

${\frac {1}{s}}=p+qx+{\frac {a''x^{2}}{a'+b'x}},$

d’où je conclus d’abord que, si l’on divise l’unité par le polynôme $s,$ et qu’on pousse la division jusqu’à ce que l’on ait dans le quotient deux termes tels que $p+qx,$ ce qui ne demande que deux opérations, on aura un reste qui sera nécessairement divisible par $x^{2}$ et que je représenterai par $s'x^{2},$ $s'$ étant une nouvelle série de la forme

$\mathrm {V} +\mathrm {V} 'x+\mathrm {V} ''x^{2}+\mathrm {V} '''x^{3}+\ldots .$

Donc

${\frac {1}{s}}=p+qx+{\frac {s'x^{2}}{s}}=p+qx+{\frac {a''x^{2}}{a'+b'x}}\,;$

par conséquent

${\frac {s'}{s}}={\frac {a''}{a'+b'x}},$

et de là

${\frac {s}{s'}}={\frac {a'+b'x}{a''}}=p'+q'x.$

Donc, si l’on divise le polynôme $s$ par le polynôme $s',$ on aura nécessairement un quotient fini de deux termes tels que $p'+q'x.$

Supposons que la série proposée soit récurrente du troisième ordre, on aura alors

$s={\frac {a'+b'x+c'x^{2}}{a+bx+cx^{2}+dx^{3}}}\,;$

donc

${\frac {1}{s}}={\frac {a+bx+cx^{2}+dx^{3}}{a'+b'x+c'x^{2}}}\,:$

qu’on divise le numérateur de cette fraction par son dénominateur, on aura un quotient de la forme $p+qx$ et unreste de la forme $a''x^{2}+b''x^{3}\,;$ donc

${\frac {1}{s}}=p+qx+{\frac {a''x^{2}+b''x^{3}}{a'+b'x+c'x^{2}}}.$