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De là il s’ensuit aussi que, si l’on divise l’unité par le polynôme $s,$ et qu’on continue la division jusqu’à ce qu’on ait dans le quotient deux termes tels que $p+qx,$ le reste sera tout divisible par $x^{2}$ et pourra être représenté par $s'x^{2},$ $s'$ étant une série de la forme

$\mathrm {V} +\mathrm {V} 'x+\mathrm {V} ''x^{2}+\mathrm {V} '''x^{3}+\ldots .$

On aura donc

${\frac {1}{s}}=p+qx+{\frac {s'x^{2}}{s}}=p+qx+{\frac {a''x^{2}+b''x^{3}}{a'+b'x+c'x^{2}}}\,;$

donc

${\frac {s'}{s}}={\frac {a''+b''x}{a'+b'x+c'x^{2}}},$

et de là

${\frac {s}{s'}}={\frac {a'+b'x+c'x^{2}}{a''+b''x}}.$

Or, en divisant le numérateur de cette fraction par le dénominateur, il est clair qu’on aura un reste de la forme $a'''x^{2},$ en sorte que

${\frac {s}{s'}}=p'+q'x+{\frac {a'''x^{2}}{a''+b''x}}.$

Donc, si l’on divise le polynôme $s$ par le polynôme $s',$ et qu’on pousse la division jusqu’à ce qu’on ait dans le quotient deux termes tels que $p'+q'x,$ le reste sera nécessairement divisible par $x^{2}$ et pourra être représenté par $s''x^{2},$ $s''$ étant une nouvelle série de la forme

$\mathrm {X} +\mathrm {X} 'x+\mathrm {X} ''x^{2}+\mathrm {X} '''x^{3}+\ldots .$

Ainsi on aura

${\frac {s}{s'}}=p'+q'x+{\frac {s''x^{2}}{s'}}=p'+q'x+{\frac {a'''x^{2}}{a''+b''x}}\,;$

d’où

${\frac {s''}{s'}}={\frac {a'''}{a''+b''x}},$