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Or, puisque les quotients trouvés sont

$1-4x,\quad {\frac {1}{6x^{2}}}+{\frac {1}{12x}},\quad 8+4x,$

on fera

${\begin{aligned}\xi \ \ \,&=1,\\\xi '\ \ &=8+4x,\\\xi ''\ &=\left({\frac {1}{6x^{2}}}+{\frac {1}{12x}}\right)\xi '+\xi ={\frac {4}{3x^{2}}}+{\frac {4}{3x}}+{\frac {4}{3}},\\\xi '''&=(1-4x)\xi ''+\xi '={\frac {4}{3x^{2}}}-{\frac {4}{x}}+4-{\frac {4x}{3}},\end{aligned}}$

et l’on aura ${\frac {\xi ''}{\xi '''}},$ c’est-à-dire, en multipliant le haut et le bas par ${\frac {3x^{2}}{4}},$

${\frac {1+x+x^{2}}{1-3x+3x^{2}-x^{3}}},$

pour la fraction génératrice de la série proposée. On voit par là que, comme le dénominateur de cette fraction est le cube de $1-x,$ la série ne peut être autre chose qu’une série algébrique du second ordre ; c’est aussi ce que l’on aurait pu reconnaître d’abord, puisque les différences secondes sont constantes.

Remarque III.

17. Quoique, généralement parlant, dans la fraction génératrice ${\frac {\xi ^{(n-1)}}{\xi ^{(n)}}},$ le dénominateur doive être un polynôme d’un degré plus grand que celui du numérateur, cependant il peut arriver que-quelques-unes des plus hautes puissances de $x$ s’évanouissent dans le dénominateur, en sorte qu’il se trouve abaissé par là à un degré égal ou moindre que celui du numérateur ; dans ce cas, la série récurrente qui en résultera sera aussi d’un ordre moindre qu’elle n’aurait dû être ; mais elle contiendra au commencement un certain nombre de termes irréguliers, après lesquels seulement elle commencera à être véritablement récurrente. Ainsi