notre règle sert également, soit que la série soit récurrente dès son commencement, ou qu’elle contienne d’abord quelques termes irréguliers. Éclaircissons ceci par un Exemple.
Exemple IV.
18. Soit proposée la série
![{\displaystyle 1,\ \ 1,\ \ 3,\ \ 7,\ \ 18,\ \ 47,\ \ 123,\ \ 322,\ \ 843,\ \ 2207,\ \ 5778,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/797e2ad7568b6d95cfbb0d47eeedcab65d48f9b4)
on en formera d’abord celle-ci
![{\displaystyle s=1+x+3x^{2}+7x^{3}+18x^{4}+47x^{5}+123x^{6}+322x^{7}+843x^{8}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e97b96011611d177e580ff30cdd8568e82a530a)
et l’on procédera comme dans l’Exemple précédent. Divisant donc
par
on a le quotient
et le reste
![{\displaystyle s'=-2x^{2}-4x^{3}-11x^{4}-29x^{5}-76x^{6}-199x^{7}-521x^{8}-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f56a94a71e125dce078e9bfaf1b4013d159e29c)
divisant ensuite
par
on a le quotient
et le reste
![{\displaystyle s''=-{\frac {x^{2}}{2}}-2x^{3}-{\frac {11x^{4}}{2}}-{\frac {29x^{5}}{2}}-38x^{6}-{\frac {199x^{7}}{2}}-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199c839d1ed5af557f14981312af10b43adfc025)
divisant encore
par
on trouve le quotient
et le reste
![{\displaystyle s''=-5x^{4}-15x^{5}-40x^{6}-105x^{7}-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04a3235ec8191bf6c305277637d7e58d9591cb9c)
enfin, divisant
par
on a le quotient
et il ne reste rien ; d’où il s’ensuit que la série proposée est nécessairement récurrente.
Ayant donc trouvé les quatre quotients
![{\displaystyle 1-x,\quad -{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1}{2x}},\quad 4-8x,\quad {\frac {1}{10x^{2}}}+{\frac {1}{10x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8261ed87fa22911f0f6db5caaf2093ff823684f)