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notre règle sert également, soit que la série soit récurrente dès son commencement, ou qu’elle contienne d’abord quelques termes irréguliers. Éclaircissons ceci par un Exemple.

Exemple IV.

18. Soit proposée la série

$1,\ \ 1,\ \ 3,\ \ 7,\ \ 18,\ \ 47,\ \ 123,\ \ 322,\ \ 843,\ \ 2207,\ \ 5778,\ldots \,;$

on en formera d’abord celle-ci

$s=1+x+3x^{2}+7x^{3}+18x^{4}+47x^{5}+123x^{6}+322x^{7}+843x^{8}+\ldots ,$

et l’on procédera comme dans l’Exemple précédent. Divisant donc $1$ par $s,$ on a le quotient $1-x,$ et le reste

$s'=-2x^{2}-4x^{3}-11x^{4}-29x^{5}-76x^{6}-199x^{7}-521x^{8}-\ldots \,;$

divisant ensuite $s$ par $s',$ on a le quotient $-{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1}{2x}},$ et le reste

$s''=-{\frac {x^{2}}{2}}-2x^{3}-{\frac {11x^{4}}{2}}-{\frac {29x^{5}}{2}}-38x^{6}-{\frac {199x^{7}}{2}}-\ldots \,;$

divisant encore $s'$ par $s'',$ on trouve le quotient $4-8x,$ et le reste

$s''=-5x^{4}-15x^{5}-40x^{6}-105x^{7}-\ldots \,;$

enfin, divisant $s''$ par $s'''$ on a le quotient ${\frac {1}{10x^{2}}}+{\frac {1}{10x}},$ et il ne reste rien ; d’où il s’ensuit que la série proposée est nécessairement récurrente.

Ayant donc trouvé les quatre quotients

$1-x,\quad -{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1}{2x}},\quad 4-8x,\quad {\frac {1}{10x^{2}}}+{\frac {1}{10x}},$