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peut toujours se ramener à celui des facteurs inégaux, en regardant les quantités égales $p,q,\ldots$ comme infiniment peu différentes entre elles ; de sorte que, comme la conclusion à laquelle nous sommes arrivés est indépendante de la forme même des facteurs $1-px,\ 1-qx,\ldots ,$ il s’ensuit qu’elle aura lieu, soit que ces facteurs soient tous inégaux ou non.

Remarque II.

23. J’appellerai, pour plus de simplicité, polynômes contraires ceux qui, étant du même degré, ont aussi les mêmes coefficients, mais disposés en sens contraire.

Ainsi les deux polynômes

$(0)+(1)x+(2)x^{2}+(3)x^{3}+\ldots +(n)x^{n},$

$(n)+(n-1)x+(n-2)x^{2}+(n-3)x^{3}+\ldots +(0)(x)^{n}$

seront des polynômes contraires.

Donc, si l’on a

$(0)=(n),\quad (1)=(n-1),\quad (2)=(n-2),\ldots ,$

ce qui est la propriété des polynômes qu’on appelle réciproques (n^o 6), il est clair que les deux polynômes contraires seront les mêmes ; vice versâ, il est visible que tout polynôme, qui sera le même que son polynôme contraires, sera nécessairement réciproque.

De ces définitions des polynômes contraires et réciproques, il est facile de déduire les propriétés suivantes de ces mêmes polynômes :

1^o La somme de deux polynômes contraires est un polynôme réciproque du même degré.

Et, en général, si $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ sont deux polynômes contraires du degré $n,$ le polynôme $\mathrm {P+Q} x^{m}$ sera un polynôme réciproque du degré $n+m.$

2^o Le produit de deux polynômes contraires est un polynôme réciproque d’un degré double ; ainsi tout polynôme réciproque d’un degré pair peut être regardé comme le produit de deux polynômes contraires.