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aux deux premiers termes

$1-3x,\quad 1+x,$

changeant ensuite $x$ en $y,$ et divisant le tout par $1+x^{2}.$

Ainsi, pour avoir la fraction génératrice, on considérera les quotients

$1-3x,\quad 1+x,$

avec le premier terme $3x^{2}$ du reste de la première division, par lequel ce reste a été divisé ; et l’on en formera (n^o 13) les quantités

$\xi =1,\quad \xi '=1+x,\quad \xi ''=(1-3x)\xi '+3x^{2}\xi =1-2x\,;$

on changea $x$ en $y$ dans la fraction ${\frac {\xi '}{\xi ''}},$ et, la divisant ensuite par $1+x^{2},$ on aura celle-ci

${\frac {1+y}{\left(1+x^{2}\right)(1-2y)}}$

pour la fraction cherchée, dans laquelle il n’y aura plus qu’à mettre ${\frac {x}{1+x^{2}}}$ à la place de $y,$ ce qui la transformera en

${\frac {1+x+x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)\left(1-2x+x^{2}\right)}}\,;$

ce qui s’accorde avec le résultat du n^o 29.

Remarque II.

34. Si, dans le cas du Problème précédent, il arrivait que la fraction génératrice eût pour numérateur un polynôme réciproque d’un degré égal ou plus grand que celui du dénominateur, alors la série aurait au commencement un certain nombre de termes irréguliers, comme on l’a vu dans le n^o 18 ; or, si l’on se contentait d’effacer ces termes, la série restante serait à la vérité régulière, mais elle n’aurait plus une fraction génératrice dont le numérateur et le dénominateur fussent des polynômes réciproques de degrés pairs, comme auparavant. Comme il peut